Упр.249 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$ax^2-2x+1=0$$, если число $$a$$ таково, что $$a\leqslant1$$ и $$a\neq0$$; б) $$x^2-4x+4a=0$$, если число $$a$$ таково, что $$a\leqslant1$$.

а) Рассмотрим уравнение $$ax^2-2x+1=0,$$ где $$a\le 1,\ a\ne 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot a\cdot 1=4-4a=4(1-a).$$

Так как $$a\le 1,$$ то $$1-a\ge 0,$$ значит, корни существуют.

Тогда

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{2\pm 2\sqrt{1-a}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{1-a}}{a}.$$

б) Рассмотрим уравнение $$x^2-4x+4a=0,$$ где $$a\le 1.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 4a=16-16a=16(1-a).$$

Так как $$a\le 1,$$ то $$1-a\ge 0,$$ значит, корни существуют.

Тогда

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16(1-a)}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{1-a}}{2}=2\pm 2\sqrt{1-a}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1\pm\sqrt{1-a}}{a}.$$

б) $$x=2\pm 2\sqrt{1-a}.$$