Упр.247 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Решите по этой формуле уравнение:
а) х2 — 8х + 7 = 0;
б) х2 + 2х — 8 = 0;
в) х2 + 2х — 3 = 0;
г) 3х2 — 10х + 8 = 0;
д) 8х2 — 10х + 3 = 0;
е) 24х2 — 10х + 1 = 0;
ж) 3х2 — 8х + 5 = 0;
з) 5х2 + 8х + 3 = 0.

Используем формулу корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ при $$D \ge 0$$:

$$D=b^2-4ac,$$

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$

Эту формулу можно записать и так:

$$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{D}{4}}}{a}, \qquad \frac{D}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac.$$

1. $$x^2-8x+7=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{-8}{2}\right)^2-7=16-7=9,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=3.$$

   $$x_1=\frac{4-3}{1}=1,\qquad x_2=\frac{4+3}{1}=7.$$

2. $$x^2+2x-8=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{2}{2}\right)^2+8=1+8=9,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=3.$$

   $$x_1=\frac{-1-3}{1}=-4,\qquad x_2=\frac{-1+3}{1}=2.$$

3. $$x^2+2x-3=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{2}{2}\right)^2+3=1+3=4,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=2.$$

   $$x_1=\frac{-1-2}{1}=-3,\qquad x_2=\frac{-1+2}{1}=1.$$

4. $$3x^2-10x+8=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{-10}{2}\right)^2-3\cdot 8=25-24=1,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=1.$$

   $$x_1=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3},\qquad x_2=\frac{5+1}{3}=2.$$

5. $$8x^2-10x+3=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{-10}{2}\right)^2-8\cdot 3=25-24=1,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=1.$$

   $$x_1=\frac{5-1}{8}=\frac{1}{2},\qquad x_2=\frac{5+1}{8}=\frac{3}{4}.$$

6. $$24x^2-10x+1=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{-10}{2}\right)^2-24\cdot 1=25-24=1,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=1.$$

   $$x_1=\frac{5-1}{24}=\frac{1}{6},\qquad x_2=\frac{5+1}{24}=\frac{1}{4}.$$

7. $$3x^2-8x+5=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{-8}{2}\right)^2-3\cdot 5=16-15=1,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=1.$$

   $$x_1=\frac{4-1}{3}=1,\qquad x_2=\frac{4+1}{3}=\frac{5}{3}.$$

8. $$5x^2+8x+3=0$$

   $$\frac{D}{4}=\left(\frac{8}{2}\right)^2-5\cdot 3=16-15=1,\qquad \sqrt{\frac{D}{4}}=1.$$

   $$x_1=\frac{-4-1}{5}=-1,\qquad x_2=\frac{-4+1}{5}=-\frac{3}{5}.$$

Ответ

а) $$x=1,\; 7$$; б) $$x=-4,\; 2$$; в) $$x=-3,\; 1$$; г) $$x=\frac{4}{3},\; 2$$; д) $$x=\frac{1}{2},\; \frac{3}{4}$$; е) $$x=\frac{1}{6},\; \frac{1}{4}$$; ж) $$x=1,\; \frac{5}{3}$$; з) $$x=-1,\; -\frac{3}{5}$$.