Упр.24 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) |2х — 4| = |х — а|;
б) |3х — 2| = |х — а|
имеет единственный корень.

а) Рассмотрим уравнение $$|2x-4|=|x-a|.$$

Если модули равны, то возможны два случая:

$$ 2x-4=x-a \quad \text{или} \quad 2x-4=-(x-a). $$

Из первого получаем:

$$ 2x-4=x-a \\ x=4-a. $$

Из второго получаем:

$$ 2x-4=-x+a \\ 3x=4+a \\ x=\frac{4+a}{3}. $$

По условию уравнение имеет единственный корень, значит, найденные значения должны совпадать:

$$ \frac{4+a}{3}=4-a $$

$$ 4+a=12-3a $$

$$ 4a=8 $$

$$ a=2. $$

б) Рассмотрим уравнение $$|3x-2|=|x-a|.$$

Возможны два случая:

$$ 3x-2=x-a \quad \text{или} \quad 3x-2=-(x-a). $$

Из первого:

$$ 3x-2=x-a \\ 2x=2-a \\ x=\frac{2-a}{2}. $$

Из второго:

$$ 3x-2=-x+a \\ 4x=2+a \\ x=\frac{2+a}{4}. $$

Чтобы корень был единственным, эти значения должны совпадать:

$$ \frac{2+a}{4}=\frac{2-a}{2} $$

$$ 2+a=2(2-a) $$

$$ 2+a=4-2a $$

$$ 3a=2 $$

$$ a=\frac{2}{3}. $$

Ответ

а) $$a=2$$; б) $$a=\frac{2}{3}$$.