Упр.209 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых значениях $$x$$ отличны от нуля значения квадратного трёхчлена:

1. а) $$x^2+x+3$$; б) $$-x^2+4x-5$$; в) $$x^2+2x+2$$; г) $$3x^2-x+1$$; д) $$-5x^2+2x-10$$; е) $$-x^2+2x-2$$; ж) $$-x^2+5x-7$$; з) $$x^2+6x+10$$; и) $$4x^2+4x+3$$.

Приведём каждый квадратный трёхчлен к виду суммы или разности квадрата и числа.

а)

$$x^2+x+3=x^2+2\cdot x\cdot \frac12+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2+3=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{11}{4}>0.$$

б)

$$-x^2+4x-5=-(x^2-4x+5)= -\bigl((x-2)^2+1\bigr)<0.$$

в)

$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0.$$

г)

$$3x^2-x+1=3\left(x^2-\frac13x+\frac13\right)=3\left(\left(x-\frac16\right)^2+\frac{11}{36}\right)>0.$$

д)

$$-5x^2+2x-10=-5\left(x^2-\frac25x+2\right)=-5\left(\left(x-\frac15\right)^2+\frac{49}{25}\right)<0.$$

е)

$$-x^2+2x-2=-(x^2-2x+2)=-\bigl((x-1)^2+1\bigr)<0.$$

ж)

$$-x^2+5x-7=-(x^2-5x+7)=-\left(\left(x-\frac52\right)^2+\frac34\right)<0.$$

з)

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1>0.$$

и)

$$4x^2+4x+3=4\left(x^2+x+\frac34\right)=4\left(\left(x+\frac12\right)^2+\frac12\right)>0.$$

Ответ

а) $$>0$$; б) $$<0$$; в) $$>0$$; г) $$>0$$; д) $$<0$$; е) $$<0$$; ж) $$<0$$; з) $$>0$$; и) $$>0$$ при любых значениях $$x$$.