Упр.195 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) множества N и Z имеют одинаковую мощность;
б) множества точек двух любых отрезков имеют одинаковую мощность;
в) множества (0; 1) и В имеют одинаковую мощность.

Подробный ответ

а) Зададим взаимно однозначное соответствие между множествами $$N$$ и $$Z$$:

$$1 \leftrightarrow 0,\quad 2 \leftrightarrow 1,\quad 3 \leftrightarrow -1,\quad 4 \leftrightarrow 2,\quad 5 \leftrightarrow -2,\ \ldots$$

Каждому натуральному числу соответствует ровно одно целое число и наоборот, значит, множества $$N$$ и $$Z$$ равномощны.

б) Любые два отрезка можно взаимно однозначно отобразить друг на друга. Например, каждый отрезок можно сначала перевести в единичный отрезок $$[0;1]$$, а затем один единичный отрезок — в другой.

Так как между точками любого отрезка и точками отрезка $$[0;1]$$ можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек двух любых отрезков имеют одинаковую мощность.

в) Покажем, что множества $$ (0;1) $$ и $$ \mathbb{R} $$ равномощны. Рассмотрим функцию

$$y=\tan\left(\pi\left(x-\frac12\right)\right).$$

При $$x \in (0;1)$$ аргумент пробегает все значения из интервала $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$, а функция $$\tan$$ на этом промежутке принимает все действительные значения. Значит, это взаимно однозначное соответствие между $$ (0;1) $$ и $$ \mathbb{R} $$.

Следовательно, множества $$ (0;1) $$ и $$ \mathbb{R} $$ имеют одинаковую мощность.