Упр.183 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что для любого числа $$a \geq 0$$ выполняется равенство:

а) $$(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})=1$$;

б) $$(\sqrt{a}-1)^2+4\sqrt{a}=(\sqrt{a}+1)$$;

в) $$(\sqrt{a}+2)^2-8\sqrt{a}=(\sqrt{a}-2)^2$$.

Пусть $$x=\sqrt{a}$$, тогда $$a=x^2$$ и $$x\ge 0$$.

1. $$\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)$$
   $$=(\sqrt{a+1})^2-(\sqrt{a})^2$$
   $$=a+1-a=1.$$

2. $$\left(\sqrt{a}-1\right)^2+4\sqrt{a}$$
   $$=a-2\sqrt{a}+1+4\sqrt{a}$$
   $$=a+2\sqrt{a}+1$$
   $$=(\sqrt{a}+1)^2.$$

3. $$\left(\sqrt{a}+2\right)^2-8\sqrt{a}$$
   $$=a+4\sqrt{a}+4-8\sqrt{a}$$
   $$=a-4\sqrt{a}+4$$
   $$=(\sqrt{a}-2)^2.$$

Ответ

Все равенства верны для любого $$a\ge 0$$.