Упр.182 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение данного выражения — число рациональное:
а) $$\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)$$;
б) $$\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)$$;
в) $$\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)$$;
г) $$\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)$$;
д) $$\left(\sqrt{2}+1\right)^2+\left(\sqrt{2}-1\right)^2$$;
е) $$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2$$;
ж) $$\left(\sqrt{7}-1\right)^2+\left(\sqrt{7}+1\right)^2$$;
з) $$\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2$$;
и) $$\left(\sqrt{7}-2\right)^2+4\sqrt{7}$$;
к) $$\left(\sqrt{8}+3\right)^2-6\sqrt{8}$$.
$$\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=2-1=1.$$
$$\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=3-1=2.$$
$$\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)=5-3=2.$$
$$\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)=6-5=1.$$
$$\left(\sqrt{2}+1\right)^2+\left(\sqrt{2}-1\right)^2$$
$$= \left(2+2\sqrt{2}+1\right)+\left(2-2\sqrt{2}+1\right)=6.$$$$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2$$
$$= \left(3+2\sqrt{6}+2\right)+\left(3-2\sqrt{6}+2\right)=10.$$$$\left(\sqrt{7}-1\right)^2+\left(\sqrt{7}+1\right)^2$$
$$= \left(7-2\sqrt{7}+1\right)+\left(7+2\sqrt{7}+1\right)=16.$$$$\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2$$
$$= \left(5-2\sqrt{15}+3\right)+\left(5+2\sqrt{15}+3\right)=16.$$$$\left(\sqrt{7}-2\right)^2+4\sqrt{7}$$
$$= 7-4\sqrt{7}+4+4\sqrt{7}=11.$$$$\left(\sqrt{8}+3\right)^2-6\sqrt{8}$$
$$= 8+6\sqrt{8}+9-6\sqrt{8}=17.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$1$$; д) $$6$$; е) $$10$$; ж) $$16$$; з) $$16$$; и) $$11$$; к) $$17$$.
