Упр.173 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 173 Доказываем. Докажите, что значение числового выражения:

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2\left(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}\right)}{2} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{(\sqrt3+1)^2}-\sqrt{(\sqrt3-1)^2}}{2} = \frac{|\sqrt3+1|-|\sqrt3-1|}{2} $$

Так как $$\sqrt3+1>0$$ и $$\sqrt3-1>0,$$ то

$$ \frac{|\sqrt3+1|-|\sqrt3-1|}{2} = \frac{\sqrt3+1-(\sqrt3-1)}{2} = \frac{2}{2}=1. $$

б)

$$ \frac{\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{3-\sqrt5}}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2\left(\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{3-\sqrt5}\right)}{2} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5}}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{(\sqrt5+1)^2}-\sqrt{(\sqrt5-1)^2}}{2} = \frac{|\sqrt5+1|-|\sqrt5-1|}{2} $$

Так как $$\sqrt5+1>0$$ и $$\sqrt5-1>0,$$ то

$$ \frac{|\sqrt5+1|-|\sqrt5-1|}{2} = \frac{\sqrt5+1-(\sqrt5-1)}{2} = \frac{2}{2}=1. $$