Упр.172 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) корень (11 + 4 корень 7) — корень 7;
б) корень (11 — 4 корень 7) — корень 7;
в) корень (16 + 6 корень 7) — корень 7;
г) корень (16 — 6 корень 7) + корень 7;
д) корень (17 — 6 корень 8) + корень 8;
е) корень (31 — 8 корень 15) + корень 15.
$$\sqrt{11+4\sqrt7}-\sqrt7=\sqrt{7+4\sqrt7+4}-\sqrt7=\sqrt{(\sqrt7+2)^2}-\sqrt7=\sqrt7+2-\sqrt7=2.$$
$$\sqrt{11-4\sqrt7}-\sqrt7=\sqrt{7-4\sqrt7+4}-\sqrt7=\sqrt{(\sqrt7-2)^2}-\sqrt7=|\sqrt7-2|-\sqrt7.$$
Так как $$\sqrt7>2,$$ то $$|\sqrt7-2|=\sqrt7-2.$$ Тогда
$$\sqrt7-2-\sqrt7=-2.$$
$$\sqrt{16+6\sqrt7}-\sqrt7=\sqrt{7+6\sqrt7+9}-\sqrt7=\sqrt{(\sqrt7+3)^2}-\sqrt7=\sqrt7+3-\sqrt7=3.$$
$$\sqrt{16-6\sqrt7}+\sqrt7=\sqrt{7-6\sqrt7+9}+\sqrt7=\sqrt{(\sqrt7-3)^2}+\sqrt7=|\sqrt7-3|+\sqrt7.$$
Так как $$\sqrt7<3,$$ то $$|\sqrt7-3|=3-\sqrt7.$$ Тогда
$$3-\sqrt7+\sqrt7=3.$$
$$\sqrt{17-6\sqrt8}+\sqrt8=\sqrt{8-6\sqrt8+9}+\sqrt8=\sqrt{(\sqrt8-3)^2}+\sqrt8=|\sqrt8-3|+\sqrt8.$$
Так как $$\sqrt8<3,$$ то $$|\sqrt8-3|=3-\sqrt8.$$ Тогда
$$3-\sqrt8+\sqrt8=3.$$
$$\sqrt{31-8\sqrt{15}}+\sqrt{15}=\sqrt{15-8\sqrt{15}+16}+\sqrt{15}=\sqrt{(\sqrt{15}-4)^2}+\sqrt{15}=|\sqrt{15}-4|+\sqrt{15}.$$
Так как $$\sqrt{15}<4,$$ то $$|\sqrt{15}-4|=4-\sqrt{15}.$$ Тогда
$$4-\sqrt{15}+\sqrt{15}=4.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$-2$$; в) $$3$$; г) $$3$$; д) $$3$$; е) $$4$$.
