Упр.171 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 171 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

1. а)

   $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1.$$

2. б)

   $$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.$$

3. в)

   $$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{5-1}$$
   $$=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{2(3-\sqrt{5})}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$$

4. г)

   $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}$$
   $$=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}.$$

5. д)

   $$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$$

6. е)

   $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$$
   $$=\frac{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{15}+(\sqrt{3})^2}{5-3}=\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{2}+1$$; б) $$\sqrt{3}+1$$; в) $$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$; г) $$2+\sqrt{3}$$; д) $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$; е) $$4-\sqrt{15}$$.