Упр.146 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ справедливо равенство: а) $$\sqrt{x^2}=x$$; б) $$\sqrt{x^2}=|x|$$; в) $$\sqrt{x^2}=-x$$; г) $$\sqrt{x^2}=0$$?

1. Известно, что $$\sqrt{x^2}=|x|$$ при любом действительном $$x$$.

2. Тогда:

   а) $$\sqrt{x^2}=x$$ тогда и только тогда, когда $$|x|=x$$, то есть при $$x \ge 0$$.

   б) $$\sqrt{x^2}=|x|$$ верно при любом действительном $$x$$.

   в) $$\sqrt{x^2}=-x$$ тогда и только тогда, когда $$|x|=-x$$, то есть при $$x \le 0$$. Но при $$x>0$$ левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому равенство выполняется только при $$x \le 0$$; однако из $$\sqrt{x^2}=|x|$$ получаем $$|x|=-x$$, что верно именно при $$x \le 0$$. Следовательно, равенство справедливо при $$x \le 0$$.

   г) $$\sqrt{x^2}=0$$, значит $$|x|=0$$, откуда $$x=0$$.

Ответ

а) $$x \ge 0$$; б) любое действительное $$x$$; в) $$x \le 0$$; г) $$x=0$$.