Ответы на вопросы Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

2. Укажите способы решения неполных квадратных уравнений.
3. Что называют дискриминантом квадратного уравнения ах^2 + bx + c = 0?
4. Как узнать, сколько корней имеет квадратное уравнение?
5. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах^2 + bх + с = 0.
6. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах^2 + 2kх + с = 0.
7. Сформулируйте алгоритм решения дробно-рационального уравнения.
8. Какое уравнение называют биквадратным? Укажите метод решения биквадратного уравнения.
9. Сформулируйте теорему Виета и теорему, ей обратную.
10. Как квадратный трёхчлен ах^2 + bх + с разложить на линейные множители?
1. Приведите примеры достоверных событий, невозможных событий, событий, которые не являются ни достоверными, ни невозможными.
2. Игральный кубик бросают один раз. Приведите пример случайного события, которое не является элементарным событием.
3. По классическому определению вероятности обоснуйте, почему вероятность достоверного события равна единице.
4. Приведите пример случайного события, вероятность которого равна 3/7.
5. Почему вероятность события не может быть отрицательной?
6. Может ли у события быть два равных противоположных события?
7. Почему противоположным к событию ?А является событие А?
8. Приведите примеры совместных событий; несовместных событий.
9. Объясните, почему события А и ?А несовместны.
10. Как, зная вероятности Р(А) и Р(В) двух несовместных событий, найти вероятность того, что наступит или А, или В?
11. Приведите примеры испытаний с неравновозможными между собой исходами.
12. В чём состоит физическая модель распределения вероятностей?
13. По общему определению вероятности обоснуйте, почему вероятность достоверного события равна единице.
14. Сформулируйте правило умножения, правило сложения.

Подробный ответ

Полное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ где $$a\ne 0,\; b\ne 0,\; c\ne 0.$$
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ в котором хотя бы один из коэффициентов $$b$$ или $$c$$ равен нулю.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент равен $$1.$$
Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент отличен от $$1.$$
Неполные квадратные уравнения решают так:
- если $$ax^2=0,$$ то $$x=0$$;
- если $$ax^2+bx=0,$$ то раскладывают на множители: $$x(ax+b)=0$$;
- если $$ax^2+c=0,$$ то преобразуют к виду $$x^2=-\dfrac{c}{a}$$ и находят корни, если правая часть неотрицательна.
Дискриминант квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ — это выражение $$D=b^2-4ac.$$
По дискриминанту определяют число корней:
- если $$D<0,$$ корней нет;
- если $$D=0,$$ уравнение имеет один корень;
- если $$D>0,$$ уравнение имеет два корня.
Формулы корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:
если $$D<0,$$ корней нет;
если $$D=0,$$ то $$x=-\dfrac{b}{2a};$$
если $$D>0,$$ то
$$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a},\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$
Для уравнения $$ax^2+2kx+c=0$$ формула корней имеет вид
$$x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.$$
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
1. перенести все члены уравнения в одну часть;
2. преобразовать полученную часть к виду алгебраической дроби $$\dfrac{p(x)}{q(x)};$$
3. решить уравнение $$p(x)=0;$$
4. проверить каждый найденный корень: удовлетворяет ли он условию $$q(x)\ne 0.$$
Биквадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0.$$
Его решают методом введения новой переменной: обозначают $$x^2=t,$$ получают квадратное уравнение относительно $$t,$$ решают его, а затем находят $$x.$$
Теорема Виета: если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ то
$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$$
Обратная теорема Виета: если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q,$$
то эти числа являются корнями уравнения $$x^2+px+q=0.$$
Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c,$$ то
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$
Достоверные события:
- при бросании игрального кубика выпадет число меньше $$10$$;
- за январем следует февраль;
- любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным.
Невозможные события:
- день рождения одноклассника $$31$$ февраля;
- нечётное число делится нацело на $$2$$;
- за сентябрём следует декабрь.
Случайные события:
- день рождения одноклассника $$29$$ февраля;
- при бросании игрального кубика выпало число $$5$$;
- наугад выбранный карандаш оказался красным.
Пример случайного события, которое не является элементарным: при бросании игрального кубика выпало чётное число.
По классическому определению вероятность достоверного события равна $$1,$$ потому что оно наступает при любом исходе испытания.
Пример события с вероятностью $$\dfrac{3}{7}$$: на столе $$3$$ красных карандаша и $$4$$ зелёных; вероятность взять красный карандаш равна $$\dfrac{3}{7}.$$
Вероятность не может быть отрицательной, потому что она равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов, а оба числа неотрицательны.
Нет, у события не может быть двух разных противоположных событий, так как противоположное событие определяется однозначно.
Противоположное событие $$\overline{A}$$ — это дополнение к событию $$A$$ во множестве всех элементарных событий.
События $$A$$ и $$\overline{A}$$ несовместны, потому что они не могут произойти одновременно.
Примеры совместных событий:
- при бросании кубика выпало чётное число и число, кратное $$3$$;
- число целое и чётное;
- идёт дождь и светит солнце.
Примеры несовместных событий:
- наступил день и наступила ночь в один момент;
- при бросании кубика выпало чётное число и число $$5$$;
- из коробки с двумя красными и двумя синими карандашами вытащить два карандаша: оба красные и оба синие.
Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$ вероятность того, что наступит или $$A,$$ или $$B,$$ равна
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$
Примеры испытаний с неравновозможными исходами:
- в классе $$11$$ девочек и $$14$$ мальчиков; вероятность выбрать девочку и мальчика различна;
- в колоде $$36$$ карт вероятность вытащить карту масти или достоинства различна.
Физическая модель распределения вероятностей состоит в том, что единичную массу произвольно делят на $$N$$ частей и распределяют по всем элементарным событиям; вероятность элементарного события — это масса, доставшаяся ему при распределении.
По общему определению вероятность достоверного события равна $$1,$$ так как
$$P(A)=\dfrac{\text{число исходов, благоприятствующих событию }A}{\text{общее число равновозможных исходов}}.$$
Для достоверного события число благоприятных исходов равно общему числу исходов, значит, $$P(A)=1.$$
Правило сложения: для несовместных событий $$A$$ и $$B$$
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$
Правило умножения: если два испытания проводятся последовательно и независимо, то вероятность того, что в первом наступит событие $$A,$$ а во втором — событие $$B,$$ равна
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$