Ответы на вопросы Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Полное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ где $$a\ne 0,\; b\ne 0,\; c\ne 0.$$

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ в котором хотя бы один из коэффициентов $$b$$ или $$c$$ равен нулю.

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент равен $$1.$$

Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент отличен от $$1.$$

Неполные квадратные уравнения решают так:

• если $$ax^2=0,$$ то $$x=0$$;
• если $$ax^2+bx=0,$$ то раскладывают на множители: $$x(ax+b)=0$$;
• если $$ax^2+c=0,$$ то преобразуют к виду $$x^2=-\dfrac{c}{a}$$ и находят корни, если правая часть неотрицательна.

Дискриминант квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ — это выражение $$D=b^2-4ac.$$

По дискриминанту определяют число корней:

• если $$D<0,$$ корней нет;
• если $$D=0,$$ уравнение имеет один корень;
• если $$D>0,$$ уравнение имеет два корня.

Формулы корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:

если $$D<0,$$ корней нет;

если $$D=0,$$ то $$x=-\dfrac{b}{2a};$$

если $$D>0,$$ то

$$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a},\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$

Для уравнения $$ax^2+2kx+c=0$$ формула корней имеет вид

$$x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.$$

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1. перенести все члены уравнения в одну часть;
2. преобразовать полученную часть к виду алгебраической дроби $$\dfrac{p(x)}{q(x)};$$
3. решить уравнение $$p(x)=0;$$
4. проверить каждый найденный корень: удовлетворяет ли он условию $$q(x)\ne 0.$$

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0.$$

Его решают методом введения новой переменной: обозначают $$x^2=t,$$ получают квадратное уравнение относительно $$t,$$ решают его, а затем находят $$x.$$

Теорема Виета: если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ то

$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$$

Обратная теорема Виета: если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q,$$

то эти числа являются корнями уравнения $$x^2+px+q=0.$$

Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c,$$ то

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$

Достоверные события:

• при бросании игрального кубика выпадет число меньше $$10$$;
• за январем следует февраль;
• любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным.

Невозможные события:

• день рождения одноклассника $$31$$ февраля;
• нечётное число делится нацело на $$2$$;
• за сентябрём следует декабрь.

Случайные события:

• день рождения одноклассника $$29$$ февраля;
• при бросании игрального кубика выпало число $$5$$;
• наугад выбранный карандаш оказался красным.

Пример случайного события, которое не является элементарным: при бросании игрального кубика выпало чётное число.

По классическому определению вероятность достоверного события равна $$1,$$ потому что оно наступает при любом исходе испытания.

Пример события с вероятностью $$\dfrac{3}{7}$$: на столе $$3$$ красных карандаша и $$4$$ зелёных; вероятность взять красный карандаш равна $$\dfrac{3}{7}.$$

Вероятность не может быть отрицательной, потому что она равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов, а оба числа неотрицательны.

Нет, у события не может быть двух разных противоположных событий, так как противоположное событие определяется однозначно.

Противоположное событие $$\overline{A}$$ — это дополнение к событию $$A$$ во множестве всех элементарных событий.

События $$A$$ и $$\overline{A}$$ несовместны, потому что они не могут произойти одновременно.

Примеры совместных событий:

• при бросании кубика выпало чётное число и число, кратное $$3$$;
• число целое и чётное;
• идёт дождь и светит солнце.

Примеры несовместных событий:

• наступил день и наступила ночь в один момент;
• при бросании кубика выпало чётное число и число $$5$$;
• из коробки с двумя красными и двумя синими карандашами вытащить два карандаша: оба красные и оба синие.

Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$ вероятность того, что наступит или $$A,$$ или $$B,$$ равна

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

Примеры испытаний с неравновозможными исходами:

• в классе $$11$$ девочек и $$14$$ мальчиков; вероятность выбрать девочку и мальчика различна;
• в колоде $$36$$ карт вероятность вытащить карту масти или достоинства различна.

Физическая модель распределения вероятностей состоит в том, что единичную массу произвольно делят на $$N$$ частей и распределяют по всем элементарным событиям; вероятность элементарного события — это масса, доставшаяся ему при распределении.

По общему определению вероятность достоверного события равна $$1,$$ так как

$$P(A)=\dfrac{\text{число исходов, благоприятствующих событию }A}{\text{общее число равновозможных исходов}}.$$

Для достоверного события число благоприятных исходов равно общему числу исходов, значит, $$P(A)=1.$$

Правило сложения: для несовместных событий $$A$$ и $$B$$

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

Правило умножения: если два испытания проводятся последовательно и независимо, то вероятность того, что в первом наступит событие $$A,$$ а во втором — событие $$B,$$ равна

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$