Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Что является графиком квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$?
- Какая прямая является осью симметрии графика квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$?
- Как расположение графика функции $$y=ax^2+bx+c$$ в системе координат $$xOy$$ зависит от знака коэффициента $$a$$?
- Как вычислить координаты вершины параболы $$y=ax^2+bx+c$$?
- Как построить график функции $$y=f(x+l)$$, $$y=f(x)+m$$, $$y=f(x+l)+m$$, зная график функции $$y=f(x)$$?
- Что является графиком функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$; при $$k<0$$?
- Перечислите свойства функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$; при $$k<0$$.
- Что называют асимптотой графика функции? Какие асимптоты имеет график функции $$y=\frac{k}{x}$$?
- Какое квадратное уравнение называют: полным; неполным; приведённым; неприведённым?
- Укажите способы решения неполных квадратных уравнений.
- Что называют дискриминантом квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$?
- Как узнать, сколько корней имеет квадратное уравнение?
- Запишите формулу корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$.
- Запишите формулу корней квадратного уравнения $$ax^2+2kx+c=0$$.
- Сформулируйте алгоритм решения дробно-рационального уравнения.
- Какое уравнение называют биквадратным? Укажите метод решения биквадратного уравнения.
- Сформулируйте теорему Виета и теорему, ей обратную.
- Как квадратный трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ разложить на линейные множители?
Графиком квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ является парабола.
Ось симметрии параболы задаётся прямой $$x=-\frac{b}{2a}.$$
Если $$a>0,$$ ветви параболы направлены вверх, если $$a<0,$$ — вниз.
Координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}, \qquad y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$
График функции $$y=f(x+l)$$ получается из графика $$y=f(x)$$ параллельным переносом вдоль оси $$Ox$$ на $$|l|$$ единиц: влево, если $$l>0,$$ и вправо, если $$l<0.$$
График функции $$y=f(x)+m$$ получается переносом вдоль оси $$Oy$$ на $$|m|$$ единиц: вверх, если $$m>0,$$ и вниз, если $$m<0.$$
Чтобы построить график $$y=f(x+l)+m,$$ нужно сначала сдвинуть график $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox,$$ а затем вдоль оси $$Oy.$$
Графиком функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$ является гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях.
При $$k<0$$ — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях.
Свойства функции $$y=\frac{k}{x}$$:
- область определения: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
- область значений: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
- при $$k>0$$: $$y>0$$ при $$x>0$$ и $$y<0$$ при $$x<0,$$ функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty);$$
- при $$k<0$$: $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$y<0$$ при $$x>0,$$ функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty);$$
- функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
- не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
- непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty),$$ имеет разрыв в точке $$x=0.$$
Асимптота — это прямая, к которой график функции неограниченно близко приближается при удалении точки графика в бесконечность.
График функции $$y=\frac{k}{x}$$ имеет две асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0.$$
Полное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ у которого $$b\neq 0$$ и $$c\neq 0.$$
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ у которого хотя бы один из коэффициентов $$b$$ или $$c$$ равен нулю.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент равен $$1.$$
Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент отличен от $$1.$$
Неполные квадратные уравнения решают так:
- $$ax^2=0 \Rightarrow x=0;$$
- $$ax^2+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0;$$
- $$ax^2+c=0 \Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}.$$
Дискриминант квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ — это выражение $$D=b^2-4ac.$$
Если $$D<0,$$ то уравнение не имеет корней.
Если $$D=0,$$ то уравнение имеет один корень.
Если $$D>0,$$ то уравнение имеет два корня.
Формула корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \qquad D=b^2-4ac.$$
Для уравнения $$ax^2+2kx+c=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.$$
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
- перенести все члены уравнения в одну часть;
- преобразовать эту часть к виду алгебраической дроби $$\frac{p(x)}{q(x)};$$
- решить уравнение $$p(x)=0;$$
- проверить каждый найденный корень: удовлетворяет ли он условию $$q(x)\neq 0.$$
Биквадратным называют уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0.$$
Его решают методом введения новой переменной.
Теорема Виета:
если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ то
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Обратная теорема Виета:
если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что $$x_1+x_2=-p,$$ $$x_1x_2=q,$$ то эти числа — корни уравнения $$x^2+px+q=0.$$
Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c,$$ то
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$
Ответ
1) Парабола. 2) $$x=-\frac{b}{2a}.$$ 3) При $$a>0$$ ветви вверх, при $$a<0$$ — вниз. 4) $$x_0=-\frac{b}{2a}, \ y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$ 5) Сдвигами графика. 6) Гипербола. 7) См. свойства выше. 8) Асимптота — прямая, к которой график неограниченно близко приближается; для $$y=\frac{k}{x}$$ это $$x=0$$ и $$y=0.$$ 9) Полное, неполное, приведённое, неприведённое — см. определения выше. 10) См. алгоритмы и формулы выше.
