Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

2. Какая прямая является осью симметрии графика квадратичной функции у = ах^2 + bх + с?
3. Как расположение графика функции у = ах^2 + bх + с в системе координат хОу зависит от знака коэффициента а?
4. Как вычислить координаты вершины параболы у = ах^2 + bх + с?
5. Как построить график функции
у = f(x + l), у = f(x) + m, у = f(x + l) + m, зная график функции у = f(x)?
6. Что является графиком функции у = k/x при k > 0; при k < 0? 7. Перечислите свойства функции y = k/x при k > 0; при k < 0. 8. Что называют асимптотой графика функции? Какие асимптоты имеет график функции у = k/x? 1. Какое квадратное уравнение называют: полным; неполным; приведённым; неприведённым? 2. Укажите способы решения неполных квадратных уравнений. 3. Что называют дискриминантом квадратного уравнения ах^2 + bx + c = 0? 4. Как узнать, сколько корней имеет квадратное уравнение? 5. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах^2 + bх + с = 0. 6. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах^2 + 2kх + с = 0. 7. Сформулируйте алгоритм решения дробно-рационального уравнения. 8. Какое уравнение называют биквадратным? Укажите метод решения биквадратного уравнения. 9. Сформулируйте теорему Виета и теорему, ей обратную. 10. Как квадратный трёхчлен ах^2 + bх + с разложить на линейные множители?

1. Графиком квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ является парабола.

   Ось симметрии параболы задаётся прямой $$x=-\frac{b}{2a}.$$

   Если $$a>0,$$ ветви параболы направлены вверх, если $$a<0,$$ — вниз.

   Координаты вершины параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}, \qquad y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

2. График функции $$y=f(x+l)$$ получается из графика $$y=f(x)$$ параллельным переносом вдоль оси $$Ox$$ на $$|l|$$ единиц: влево, если $$l>0,$$ и вправо, если $$l<0.$$

   График функции $$y=f(x)+m$$ получается переносом вдоль оси $$Oy$$ на $$|m|$$ единиц: вверх, если $$m>0,$$ и вниз, если $$m<0.$$

   Чтобы построить график $$y=f(x+l)+m,$$ нужно сначала сдвинуть график $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox,$$ а затем вдоль оси $$Oy.$$

3. Графиком функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$ является гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях.

   При $$k<0$$ — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях.

4. Свойства функции $$y=\frac{k}{x}$$:

   • область определения: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
   • область значений: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
   • при $$k>0$$: $$y>0$$ при $$x>0$$ и $$y<0$$ при $$x<0,$$ функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty);$$
   • при $$k<0$$: $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$y<0$$ при $$x>0,$$ функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty);$$
   • функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
   • не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
   • непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty),$$ имеет разрыв в точке $$x=0.$$

5. Асимптота — это прямая, к которой график функции неограниченно близко приближается при удалении точки графика в бесконечность.

   График функции $$y=\frac{k}{x}$$ имеет две асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0.$$

6. Полное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ у которого $$b\neq 0$$ и $$c\neq 0.$$

   Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ у которого хотя бы один из коэффициентов $$b$$ или $$c$$ равен нулю.

   Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент равен $$1.$$

   Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент отличен от $$1.$$

7. Неполные квадратные уравнения решают так:

   • $$ax^2=0 \Rightarrow x=0;$$
   • $$ax^2+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0;$$
   • $$ax^2+c=0 \Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}.$$

8. Дискриминант квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ — это выражение $$D=b^2-4ac.$$

9. Если $$D<0,$$ то уравнение не имеет корней.

   Если $$D=0,$$ то уравнение имеет один корень.

   Если $$D>0,$$ то уравнение имеет два корня.

10. Формула корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \qquad D=b^2-4ac.$$

11. Для уравнения $$ax^2+2kx+c=0$$:

    $$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.$$

12. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

    1. перенести все члены уравнения в одну часть;
    2. преобразовать эту часть к виду алгебраической дроби $$\frac{p(x)}{q(x)};$$
    3. решить уравнение $$p(x)=0;$$
    4. проверить каждый найденный корень: удовлетворяет ли он условию $$q(x)\neq 0.$$

13. Биквадратным называют уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0.$$

    Его решают методом введения новой переменной.

14. Теорема Виета:

    если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ то

    $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

    Обратная теорема Виета:

    если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что $$x_1+x_2=-p,$$ $$x_1x_2=q,$$ то эти числа — корни уравнения $$x^2+px+q=0.$$

15. Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c,$$ то

    $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$

Ответ

1) Парабола. 2) $$x=-\frac{b}{2a}.$$ 3) При $$a>0$$ ветви вверх, при $$a<0$$ — вниз. 4) $$x_0=-\frac{b}{2a}, \ y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$ 5) Сдвигами графика. 6) Гипербола. 7) См. свойства выше. 8) Асимптота — прямая, к которой график неограниченно близко приближается; для $$y=\frac{k}{x}$$ это $$x=0$$ и $$y=0.$$ 9) Полное, неполное, приведённое, неприведённое — см. определения выше. 10) См. алгоритмы и формулы выше.