Ответы на вопросы Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Примеры достоверных событий:

• при бросании игрального кубика выпадет меньше 10 очков;
• за январем следует февраль;
• задуманное натуральное число является четным или нечетным.

Примеры невозможных событий:

• день рождения одноклассника 31 февраля;
• нечетное число делится нацело на 2;
• за сентябрем следует декабрь.

Примеры случайных событий:

• день рождения одноклассника 29 февраля;
• при бросании игрального кубика выпало число 5;
• наугад выбранный карандаш оказался красным.

При бросании игрального кубика выпало число 2.

Вероятность достоверного события равна $$1$$, потому что оно наступает при любом исходе испытания.

На столе 3 красных карандаша и 4 зеленых. Вероятность взять три красных карандаша равна $$\frac{3}{7}$$.

Вероятность не может быть отрицательной, потому что число благоприятных исходов и общее число равновозможных исходов неотрицательны, а вероятность равна их отношению.

У события не может быть два разных противоположных события, так как противоположное событие определяется однозначно как дополнение к событию $$A$$ во множестве всех элементарных событий.

Противоположное событие $$\overline{A}$$ — это дополнение к событию $$A$$ во множестве всех элементарных событий. Сумма вероятностей события и противоположного ему события равна единице.

Примеры совместных событий:

• выпадение четного числа и числа, кратного 3, при бросании игрального кубика;
• число целое и четное;
• идет дождь и светит солнце.

Примеры несовместных событий:

• наступил день и наступила ночь;
• при бросании игрального кубика выпало четное число и число 5;
• из коробки с двумя разноцветными карандашами вытащить два карандаша: оба красные и оба синие.

События $$A$$ и $$\overline{A}$$ несовместны, потому что сумма вероятности события и вероятности противоположного ему события равна единице.

Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$ вероятность того, что наступит или $$A$$, или $$B$$, равна сумме их вероятностей:

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B).$$

Примеры испытаний с неравновозможными исходами:

• в классе 11 девочек и 14 мальчиков: вероятность выбрать девочку или мальчика неравновозможна;
• в колоде 36 карт: вероятность вытащить цифру или картинку неравновозможна.

Физическая модель: единичную массу произвольно разрезают на $$N$$ частей и эти части произвольно распределяют по всем элементарным событиям; вероятность элементарного события — это масса, доставшаяся ему при распределении.

Вероятность достоверного события равна $$1$$, потому что вероятность события $$A$$ при проведении некоторого испытания равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события $$A$$, к общему числу равновозможных между собой исходов этого испытания.

Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$ вероятность того, что наступит или $$A$$, или $$B$$, равна сумме $$P(A)+P(B)$$.

Пусть последовательно и независимо проводят два испытания, каждое с равновозможными исходами. Тогда вероятность того, что в первом из них наступит событие $$A$$, а во втором — событие $$B$$, равна произведению $$P(A)\cdot P(B)$$.

Графиком квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ является парабола.

Осью симметрии параболы $$y=ax^2+bx+c$$ служит прямая

$$x=-\frac{b}{2a}.$$

Если $$a>0$$, то ветви параболы направлены вверх; если $$a<0$$, то ветви параболы направлены вниз.

Абсцисса вершины параболы $$y=ax^2+bx+c$$ вычисляется по формуле

$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$

Ордината вершины:

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}$$

или $$y_0=f(x_0)$$, где $$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Чтобы построить график функции $$y=f(x+l)$$, нужно сдвинуть график $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox$$ на $$|l|$$ единиц: влево, если $$l>0$$, и вправо, если $$l<0$$.

Чтобы построить график функции $$y=f(x)+m$$, нужно сдвинуть график $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Oy$$ на $$|m|$$ единиц: вверх, если $$m>0$$, и вниз, если $$m<0$$.

Чтобы построить график функции $$y=f(x+l)+m$$, нужно:

1. построить график функции $$y=f(x)$$;
2. осуществить параллельный перенос графика вдоль оси $$Ox$$ на $$|l|$$ единиц влево, если $$l>0$$, и вправо, если $$l<0$$;
3. осуществить параллельный перенос полученного графика вдоль оси $$Oy$$ на $$|m|$$ единиц вверх, если $$m>0$$, и вниз, если $$m<0$$.

Графиком функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$ является гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях; при $$k<0$$ — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой четвертях.

Свойства функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k>0$$:

• область определения: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
• $$y>0$$ при $$x>0$$ и $$y<0$$ при $$x<0$$;
• функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
• функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
• ни наименьшего, ни наибольшего значений нет;
• функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ и имеет разрыв в точке $$x=0$$;
• функция выпукла вверх на промежутке $$(-\infty;0)$$ и выпукла вниз на промежутке $$(0;+\infty)$$;
• область значений: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

Свойства функции $$y=\frac{k}{x}$$ при $$k<0$$:

• область определения: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
• $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$y<0$$ при $$x>0$$;
• функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
• функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
• ни наименьшего, ни наибольшего значений нет;
• функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ и имеет разрыв в точке $$x=0$$;
• функция выпукла вверх на промежутке $$(0;+\infty)$$ и выпукла вниз на промежутке $$(-\infty;0)$$;
• область значений: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

Асимптота — это прямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность.

График функции $$y=\frac{k}{x}$$ имеет две асимптоты: прямые $$x=0$$ и $$y=0$$.