Тест Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

А. у = x/5 Б. y = 1/5 x^2 В. у = 5/x
1) парабола 2) гипербола 3) прямая
2. Укажите точку, не принадлежащую графику функции у = 32x^2.
а) (—1; 32) б) (v2; 64) в) (-4; -128) г) (0,25; 2)
3. Установите соответствие между аналитическим и графическим заданием функции.
А. у = 3 — х^2 Б. у = (х — 3)^2 В. у = -(х + 3)^2
4. Укажите все случаи задания параболы, ветви которой направлены вниз.
а) у = —х^2 + 2х — 3 в) y = 1 — 2x — 3x^2
б) у = -4 + х^2 + 3х г) y = 4 — x^2 + 3x
5. Найдите наименьшее значение функции у = 2(х + 1)^2 — 3 на отрезке [—3; 0].
а) -1 б) -3 в) 0 г) 5
6. Укажите неверное утверждение относительно координат вершины параболы у = 2Х^2 + 8х + 5.
а) x_верш < 0 б) x_верш = -2 в) y_верш < 0 г) y_верш = -2 7. Укажите аналитическое задание функции, график которой изображён на рисунке 127. а) y = -3/(x + 2) в) y = 3/(2 - x) б) y = 3/(x - 2) г) y = 3/x - 2 8. Найдите значение с, при котором наименьшее значение функции у = 3x^2 + 6x + с равно -10. 9. Укажите, какие из данных функций возрастают на промежутке (0; +?). а) у = 4/x + 1 в) у = 3/x - 1 б) y = -2/x - 1 г) y = 1 - 5/x 10. Найдите, при каких значениях х парабола у = х^2 - 6х + 5 расположена ниже оси х. а) 1 < х < 5 в) — 5 < х < — 1 б) х < 1, х > 5 г) х < —5, х > — 1
1. Укажите уравнение, которое не является квадратным.
а) 1 — 2х^2 = 0 в) x — 4 + 3х^2 = 0
б) x/2 = х^2 г) 2/x — х = 0
2. Укажите уравнение, которое является полным приведённым квадратным уравнением.
а) 2х^2 — 3х + 1 = 0 в) x^2 — 3х = 0
б) x^2 — 3х + 2 = 0 г) 2х^2 + 1 = 0
3. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
а) -5x^2 = 0 в) -5 — х^2 = 0
б) 5 — х^2 = 0 г) -5х — х^2 = 0
4. Установите соответствие между квадратным уравнением и количеством его корней.
А. x^2 — 4х + 1 = 0 Б. x^2 — 4х + 5 = 0 В. х^2 — 4х + 4 = 0
1) один корень 2) два корня 3) не имеет корней
5. Найдите сумму корней уравнения 2х^2 + 5х — 3 = 0.
а) -5 б) -3 в) -2,5 г) -1,5
6. Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки против течения реки х км/ч. Укажите математическую модель данной ситуации.
а) 20/x — 14/(x + 4) = 1 в) 20/x — 14/(x — 4) = 1
б) 20/(x — 4) — 14/x = 1 г) 14/(x + 4) — 20/x = 1
7. Решите уравнение 3x/(x + 1) — 6/(x^2 — 1) = 4/(x — 1).
8. Укажите верные варианты разложения на множители квадратного трёхчлена 2x^2 — 9х + 4.
а) -(2х — 1)(4 — х) в) -(4 — х)(1 — 2х)
б) (х — 4)(2х — 1) г) (1 — 2x)(4 — х)
9. Пусть x_1 и х_2 — корни уравнения х^2 + 9x — 126 = 0. Не решая уравнение, найдите 1/x_1 + 1/x_2.
10. Решите уравнение (х^2 — 3х + 1)(x^2 — 3х + 3) = 3.

Подробный ответ

Аналитическому заданию функции сопоставим вид графика:
$$y=\frac{x}{5}$$ — прямая, $$y=\frac{1}{5}x^2$$ — парабола, $$y=\frac{5}{x}$$ — гипербола.
Ответ: А–3, Б–1, В–2.
Проверим точки для функции $$y=32x^2$$:
$$(-1;32):\ 32=32\cdot(-1)^2$$ — подходит;
$$(\sqrt2;64):\ 64=32\cdot(\sqrt2)^2$$ — подходит;
$$(-4;-128):\ -128\ne 32\cdot(-4)^2$$ — не подходит;
$$\left(0{,}25;2\right):\ 2=32\cdot(0{,}25)^2$$ — подходит.
Ответ: в).
Сопоставим уравнения и графики парабол:
$$y=3-x^2$$ — вершина $$ (0;3) $$;
$$y=(x-3)^2$$ — вершина $$ (3;0) $$;
$$y=-(x+3)^2$$ — вершина $$ (-3;0) $$.
Ответ: А–3, Б–1, В–2.
Ветви параболы $$y=ax^2+bx+c$$ направлены вниз при $$a<0$$.
а) $$y=-x^2+2x-3$$ — вниз;
б) $$y=-4+x^2+3x$$ — вверх;
в) $$y=1-2x-3x^2$$ — вниз;
г) $$y=4-x^2+3x$$ — вниз.
Ответ: а), в), г).
$$y=2(x+1)^2-3$$.
Вершина параболы: $$(-1;-3)$$, ветви направлены вверх. На отрезке $$[-3;0]$$ наименьшее значение достигается в вершине:
$$y_{\min}=-3$$.
Ответ: б).
Для функции $$y=2x^2+8x+5$$:
$$x_{\text{верш}}=-\frac{8}{2\cdot2}=-2,$$
$$y_{\text{верш}}=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+5=-3.$$
Значит, неверно утверждение $$y_{\text{верш}}=-2$$.
Ответ: г).
На рисунке изображён график функции $$y=\frac{3}{x}$$, сдвинутый на 2 единицы вправо:
$$y=\frac{3}{x-2}$$.
Ответ: б).
$$y=3x^2+6x+c$$.
Координата вершины по оси $$x$$:
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot3}=-1.$$
Тогда
$$y_0=f(-1)=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)+c=c-3.$$
По условию наименьшее значение равно $$-10$$, значит:
$$c-3=-10,$$
$$c=-7.$$
Ответ: $$c=-7$$.
Проверим монотонность функций на промежутке $$ (0;+\infty) $$:
$$y=\frac{4}{x}+1$$ — убывает;
$$y=-\frac{2}{x}-1$$ — возрастает;
$$y=\frac{3}{x}-1$$ — убывает;
$$y=1-\frac{5}{x}$$ — возрастает.
Ответ: б), г).
$$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4.$$
Парабола расположена ниже оси $$Ox$$, когда
$$x^2-6x+5<0.$$
Найдём корни:
$$x^2-6x+5=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=5.$$
Так как ветви направлены вверх, то
$$1<x<5.$$
Ответ: а).
Уравнение не является квадратным, если в нём есть дробь с переменной в знаменателе:
$$\frac{2}{x}-x=0.$$
Ответ: г).
Полное приведённое квадратное уравнение имеет вид $$x^2+bx+c=0$$, где $$b\ne0$$ и $$c\ne0$$.
Подходит:
$$x^2-3x+2=0.$$
Ответ: б).
Уравнение не имеет корней, если левая часть не может быть равна нулю:
$$-5-x^2=0 \Rightarrow x^2=-5,$$
что невозможно.
Ответ: в).
Найдём число корней по дискриминанту:
А. $$x^2-4x+1=0,$$ $$D=16-4=12>0$$ — два корня;
Б. $$x^2-4x+5=0,$$ $$D=16-20=-4<0$$ — корней нет;
В. $$x^2-4x+4=0,$$ $$D=16-16=0$$ — один корень.
Ответ: А–2, Б–3, В–1.
Для уравнения $$2x^2+5x-3=0$$ сумма корней равна:
$$x_1+x_2=-\frac{5}{2}=-2{,}5.$$
Ответ: в).
Собственная скорость лодки равна $$x+4$$ км/ч.
Тогда время движения против течения:
$$\frac{20}{x}$$,
а по озеру:
$$\frac{14}{x+4}.$$
По условию:
$$\frac{20}{x}-\frac{14}{x+4}=1.$$
Ответ: а).
Решим уравнение:
$$\frac{3x}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{4}{x-1},\qquad x\ne \pm1.$$
Умножим на $$ (x-1)(x+1) $$:
$$3x(x-1)-6=4(x+1).$$
$$3x^2-3x-6=4x+4,$$
$$3x^2-7x-10=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$x=\frac{7\pm13}{6}.$$
$$x_1=-1$$ — не подходит, так как запрещён;
$$x_2=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}.$$
Ответ: $$x=3\frac{1}{3}$$.
Разложим на множители:
$$2x^2-9x+4=(2x-1)(x-4).$$
Подходят варианты:
$$-(2x-1)(4-x),\quad -(4-x)(1-2x),\quad (1-2x)(4-x).$$
Ответ: а), б), г).
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+9x-126=0$$. Тогда
$$x_1+x_2=-9,\qquad x_1x_2=-126.$$
Искомая сумма:
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{-126}=\frac{1}{14}.$$
Ответ: $$\frac{1}{14}$$.
Обозначим
$$t=x^2-3x+1.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$t(t+2)=3,$$
$$t^2+2t-3=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=-3.$$
1) Если $$t=1$$, то
$$x^2-3x+1=1,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=3.$$
2) Если $$t=-3$$, то
$$x^2-3x+1=-3,$$
$$x^2-3x+4=0,$$
$$D=9-16<0,$$
корней нет.
Ответ: $$x=0$$ и $$x=3$$.