Тест Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Аналитическому заданию функции сопоставим вид графика:

$$y=\frac{x}{5}$$ — прямая, $$y=\frac{1}{5}x^2$$ — парабола, $$y=\frac{5}{x}$$ — гипербола.

Ответ: А–3, Б–1, В–2.

Проверим точки для функции $$y=32x^2$$:

$$(-1;32):\ 32=32\cdot(-1)^2$$ — подходит;

$$(\sqrt2;64):\ 64=32\cdot(\sqrt2)^2$$ — подходит;

$$(-4;-128):\ -128\ne 32\cdot(-4)^2$$ — не подходит;

$$\left(0{,}25;2\right):\ 2=32\cdot(0{,}25)^2$$ — подходит.

Ответ: в).

Сопоставим уравнения и графики парабол:

$$y=3-x^2$$ — вершина $$(0;3)$$;

$$y=(x-3)^2$$ — вершина $$(3;0)$$;

$$y=-(x+3)^2$$ — вершина $$(-3;0)$$.

Ответ: А–3, Б–1, В–2.

Ветви параболы $$y=ax^2+bx+c$$ направлены вниз при $$a<0$$.

а) $$y=-x^2+2x-3$$ — вниз;

б) $$y=-4+x^2+3x$$ — вверх;

в) $$y=1-2x-3x^2$$ — вниз;

г) $$y=4-x^2+3x$$ — вниз.

Ответ: а), в), г).

$$y=2(x+1)^2-3$$.

Вершина параболы: $$(-1;-3)$$, ветви направлены вверх. На отрезке $$[-3;0]$$ наименьшее значение достигается в вершине:

$$y_{\min}=-3$$.

Ответ: б).

Для функции $$y=2x^2+8x+5$$:

$$x_{\text{верш}}=-\frac{8}{2\cdot2}=-2,$$

$$y_{\text{верш}}=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+5=-3.$$

Значит, неверно утверждение $$y_{\text{верш}}=-2$$.

Ответ: г).

На рисунке изображён график функции $$y=\frac{3}{x}$$, сдвинутый на 2 единицы вправо:

$$y=\frac{3}{x-2}$$.

Ответ: б).

$$y=3x^2+6x+c$$.

Координата вершины по оси $$x$$:

$$x_0=-\frac{6}{2\cdot3}=-1.$$

Тогда

$$y_0=f(-1)=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)+c=c-3.$$

По условию наименьшее значение равно $$-10$$, значит:

$$c-3=-10,$$

$$c=-7.$$

Ответ: $$c=-7$$.

Проверим монотонность функций на промежутке $$(0;+\infty)$$:

$$y=\frac{4}{x}+1$$ — убывает;

$$y=-\frac{2}{x}-1$$ — возрастает;

$$y=\frac{3}{x}-1$$ — убывает;

$$y=1-\frac{5}{x}$$ — возрастает.

Ответ: б), г).

$$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4.$$

Парабола расположена ниже оси $$Ox$$, когда

$$x^2-6x+5<0.$$

Найдём корни:

$$x^2-6x+5=0,$$

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

Так как ветви направлены вверх, то

$$1<x<5.$$

Ответ: а).

Уравнение не является квадратным, если в нём есть дробь с переменной в знаменателе:

$$\frac{2}{x}-x=0.$$

Ответ: г).

Полное приведённое квадратное уравнение имеет вид $$x^2+bx+c=0$$, где $$b\ne0$$ и $$c\ne0$$.

Подходит:

$$x^2-3x+2=0.$$

Ответ: б).

Уравнение не имеет корней, если левая часть не может быть равна нулю:

$$-5-x^2=0 \Rightarrow x^2=-5,$$

что невозможно.

Ответ: в).

Найдём число корней по дискриминанту:

А. $$x^2-4x+1=0,$$ $$D=16-4=12>0$$ — два корня;

Б. $$x^2-4x+5=0,$$ $$D=16-20=-4<0$$ — корней нет;

В. $$x^2-4x+4=0,$$ $$D=16-16=0$$ — один корень.

Ответ: А–2, Б–3, В–1.

Для уравнения $$2x^2+5x-3=0$$ сумма корней равна:

$$x_1+x_2=-\frac{5}{2}=-2{,}5.$$

Ответ: в).

Собственная скорость лодки равна $$x+4$$ км/ч.

Тогда время движения против течения:

$$\frac{20}{x}$$,

а по озеру:

$$\frac{14}{x+4}.$$

По условию:

$$\frac{20}{x}-\frac{14}{x+4}=1.$$

Ответ: а).

Решим уравнение:

$$\frac{3x}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{4}{x-1},\qquad x\ne \pm1.$$

Умножим на $$(x-1)(x+1)$$:

$$3x(x-1)-6=4(x+1).$$

$$3x^2-3x-6=4x+4,$$

$$3x^2-7x-10=0.$$

$$D=49+120=169,$$

$$x=\frac{7\pm13}{6}.$$

$$x_1=-1$$ — не подходит, так как запрещён;

$$x_2=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$x=3\frac{1}{3}$$.

Разложим на множители:

$$2x^2-9x+4=(2x-1)(x-4).$$

Подходят варианты:

$$-(2x-1)(4-x),\quad -(4-x)(1-2x),\quad (1-2x)(4-x).$$

Ответ: а), б), г).

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+9x-126=0$$. Тогда

$$x_1+x_2=-9,\qquad x_1x_2=-126.$$

Искомая сумма:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{-126}=\frac{1}{14}.$$

Ответ: $$\frac{1}{14}$$.

Обозначим

$$t=x^2-3x+1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$t(t+2)=3,$$

$$t^2+2t-3=0,$$

$$t=1 \text{ или } t=-3.$$

1) Если $$t=1$$, то

$$x^2-3x+1=1,$$

$$x^2-3x=0,$$

$$x(x-3)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=3.$$

2) Если $$t=-3$$, то

$$x^2-3x+1=-3,$$

$$x^2-3x+4=0,$$

$$D=9-16<0,$$

корней нет.

Ответ: $$x=0$$ и $$x=3$$.