Упр.99 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) Один из корней квадратного уравнения 3×2 — 18x + с = 0 в 5 раз больше другого. Найдите значение параметра с.

а) Пусть корни уравнения $$-x^2+11x+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_1-x_2=3$$.

Умножим уравнение на $$-1$$:

$$x^2-11x-q=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=11,\qquad x_1x_2=-q.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x_1-x_2=3,\\ x_1+x_2=11. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2x_1=14,\qquad x_1=7,$$

тогда

$$x_2=4.$$

Найдём $$q$$:

$$x_1x_2=7\cdot 4=28,\qquad -q=28,$$

откуда

$$q=-28.$$

б) Пусть корни уравнения $$3x^2-18x+c=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём один корень в 5 раз больше другого. Возьмём $$x_1=5x_2$$.

Разделим уравнение на $$3$$:

$$x^2-6x+\frac{c}{3}=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=\frac{c}{3}.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} x_1=5x_2,\\ x_1+x_2=6. \end{cases} $$

Подставим:

$$5x_2+x_2=6,\qquad 6x_2=6,\qquad x_2=1,$$

значит

$$x_1=5.$$

Тогда

$$x_1x_2=5\cdot 1=5,\qquad \frac{c}{3}=5,$$

откуда

$$c=15.$$

Ответ

а) $$q=-28$$; б) $$c=15$$.