Упр.97 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) Вычислите х1^3 + х2^3 где х1 и х2 — корни уравнения x2 + x — 5 = 0.

а) По теореме Виета для уравнения $$3x^2-2x-6=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=\frac{2}{3}, \qquad x_1x_2=-2.$$

Тогда

$$ \frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2} =\frac{3x_2+3x_1}{x_1x_2} =\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2} =\frac{3\cdot \frac{2}{3}}{-2} =-1. $$

б) Для уравнения $$x^2+x-5=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-1, \qquad x_1x_2=-5.$$

Используем формулу:

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr). $$

Найдём выражение в скобках:

$$ x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2. $$

Тогда

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr) =-1\bigl((-1)^2-3\cdot(-5)\bigr) =-1(1+15)=-16. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-16$$.