Дополнительная задача 9 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Найдите точку пересечения оси $$Oy$$ и параболы $$y=2x^2+bx+c$$, которая проходит через точки: а) $$(1; 0)$$ и $$(-1; 0)$$; б) $$(1; 2)$$ и $$(-1; 2)$$; в) $$(2; 3)$$ и $$(-2; 3)$$; г) $$(1; 0)$$ и $$(-2; 0)$$; д) $$(1; 0)$$ и $$(-2; 3)$$; е) $$(1; 2)$$ и $$(-2; 3)$$.

1. а) Пусть $$y=2x^2+bx+c.$$ Тогда для точек $$(1;0)$$ и $$(-1;0)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 2-b+c=0. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$4+2c=0,\quad c=-2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2+b-2=0,\quad b=0.$$

   Значит, $$y=2x^2-2.$$ При $$x=0$$:

   $$y=2\cdot 0^2-2=-2.$$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$(0;-2).$$

2. б) Для точек $$(1;2)$$ и $$(-1;2)$$:

   $$\begin{cases} 2+b+c=2,\\ 2-b+c=2. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} b+c=0,\\ -b+c=0. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2c=0,\quad c=0.$$

   Тогда $$b=0$$, значит $$y=2x^2.$$ При $$x=0$$:

   $$y=0.$$

   Точка пересечения: $$(0;0).$$

3. в) Для точек $$(2;3)$$ и $$(-2;3)$$:

   $$\begin{cases} 8+2b+c=3,\\ 8-2b+c=3. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$16+2c=6,\quad 2c=-10,\quad c=-5.$$

   Подставим:

   $$8-2b-5=3,\quad -2b=0,\quad b=0.$$

   Значит, $$y=2x^2-5.$$ При $$x=0$$:

   $$y=-5.$$

   Точка пересечения: $$(0;-5).$$

4. г) Для точек $$(1;0)$$ и $$(-2;0)$$:

   $$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 8-2b+c=0. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$6-3b=0,\quad b=2.$$

   Тогда:

   $$2+2+c=0,\quad c=-4.$$

   Значит, $$y=2x^2+2x-4.$$ При $$x=0$$:

   $$y=-4.$$

   Точка пересечения: $$(0;-4).$$

5. д) Для точек $$(1;0)$$ и $$(-2;3)$$:

   $$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 8-2b+c=3. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$6-3b=3,\quad 3b=3,\quad b=1.$$

   Тогда:

   $$2+1+c=0,\quad c=-3.$$

   Значит, $$y=2x^2+x-3.$$ При $$x=0$$:

   $$y=-3.$$

   Точка пересечения: $$(0;-3).$$

6. е) Для точек $$(1;2)$$ и $$(-2;3)$$:

   $$\begin{cases} 2+b+c=2,\\ 8-2b+c=3. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$6-3b=1,\quad 3b=5,\quad b=\frac{5}{3}.$$

   Тогда:

   $$2+\frac{5}{3}+c=2,\quad c=-\frac{5}{3}.$$

   Значит, $$y=2x^2+\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}.$$ При $$x=0$$:

   $$y=-\frac{5}{3}.$$

   Точка пересечения: $$\left(0;-\frac{5}{3}\right).$$

Ответ

а) $$(0;-2)$$; б) $$(0;0)$$; в) $$(0;-5)$$; г) $$(0;-4)$$; д) $$(0;-3)$$; е) $$\left(0;-\frac{5}{3}\right).$$