Дополнительная задача 9 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите точку пересечения оси $$Oy$$ и параболы $$y=2x^2+bx+c$$, которая проходит через точки:

а) $$(1; 0)$$ и $$(-1; 0)$$;
б) $$(1; 2)$$ и $$(-1; 2)$$;
в) $$(2; 3)$$ и $$(-2; 3)$$;
г) $$(1; 0)$$ и $$(-2; 0)$$;
д) $$(1; 0)$$ и $$(-2; 3)$$;
е) $$(1; 2)$$ и $$(-2; 3)$$.

Подробный ответ

Пусть парабола имеет вид $$y=2x^2+bx+c.$$ Тогда для любой точки, лежащей на ней, её координаты удовлетворяют уравнению.
а) Точки $$(1;0)$$ и $$(-1;0)$$:
$$\begin{cases} 0=2\cdot 1^2+b\cdot 1+c,\\ 0=2\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 2-b+c=0 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$4+2c=0,\quad c=-2.$$
Тогда
$$2+b-2=0,\quad b=0.$$
Значит, $$y=2x^2-2.$$ При $$x=0$$ получаем
$$y=2\cdot 0^2-2=-2.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$(0;-2).$$
б) Точки $$(1;2)$$ и $$(-1;2)$$:
$$\begin{cases} 2=2\cdot 1^2+b\cdot 1+c,\\ 2=2\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} b+c=0,\\ -b+c=0 \end{cases}$$
Складываем:
$$2c=0,\quad c=0.$$
Тогда
$$b=0.$$
Значит, $$y=2x^2.$$ При $$x=0$$:
$$y=0.$$
Точка пересечения: $$(0;0).$$
в) Точки $$(2;3)$$ и $$(-2;3)$$:
$$\begin{cases} 3=2\cdot 2^2+b\cdot 2+c,\\ 3=2\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 8+2b+c=3,\\ 8-2b+c=3 \end{cases}$$
Складываем:
$$16+2c=6,\quad c=-5.$$
Тогда
$$8-2b-5=3,\quad -2b=0,\quad b=0.$$
Значит, $$y=2x^2-5.$$ При $$x=0$$:
$$y=-5.$$
Точка пересечения: $$(0;-5).$$
г) Точки $$(1;0)$$ и $$(-2;0)$$:
$$\begin{cases} 0=2\cdot 1^2+b\cdot 1+c,\\ 0=2\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 8-2b+c=0 \end{cases}$$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$6-3b=0,\quad b=2.$$
Тогда
$$2+2+c=0,\quad c=-4.$$
Значит, $$y=2x^2+2x-4.$$ При $$x=0$$:
$$y=-4.$$
Точка пересечения: $$(0;-4).$$
д) Точки $$(1;0)$$ и $$(-2;3)$$:
$$\begin{cases} 0=2\cdot 1^2+b\cdot 1+c,\\ 3=2\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2+b+c=0,\\ 8-2b+c=3 \end{cases}$$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$6-3b=3,\quad -3b=-3,\quad b=1.$$
Тогда
$$2+1+c=0,\quad c=-3.$$
Значит, $$y=2x^2+x-3.$$ При $$x=0$$:
$$y=-3.$$
Точка пересечения: $$(0;-3).$$
е) Точки $$(1;2)$$ и $$(-2;3)$$:
$$\begin{cases} 2=2\cdot 1^2+b\cdot 1+c,\\ 3=2\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2+b+c=2,\\ 8-2b+c=3 \end{cases}$$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$6-3b=1,\quad -3b=-5,\quad b=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$2+\frac{5}{3}+c=2,\quad c=-\frac{5}{3}.$$
Значит, $$y=2x^2+\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}.$$ При $$x=0$$:
$$y=-\frac{5}{3}.$$
Точка пересечения: $$\left(0;-\frac{5}{3}\right).$$