Дополнительная задача 9 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Натуральные числа бывают чётными и нечётными. Если взять три натуральных числа, то возможны только такие случаи:

• все три чётные;
• все три нечётные;
• одно чётное, два нечётных;
• одно нечётное, два чётных.

Во всех случаях среди трёх чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Что и требовалось доказать.

б) При делении на $$3$$ возможны остатки $$0$$, $$1$$ или $$2$$.

Значит, среди четырёх натуральных чисел обязательно найдутся два числа, дающие одинаковый остаток при делении на $$3$$. Что и требовалось доказать.

в) При делении на $$13$$ возможны остатки от $$0$$ до $$12$$ включительно, то есть всего $$13$$ различных остатков.

Следовательно, среди любых $$14$$ натуральных чисел обязательно найдутся два числа, дающие одинаковый остаток при делении на $$13$$. Что и требовалось доказать.

г) При переводе дроби $$\frac{m}{13}$$ в десятичную дробь в периоде могут встречаться только остатки от $$0$$ до $$12$$ включительно. Таких остатков $$13$$.

Если бы длина периода была больше $$13$$, то какой-то остаток повторился бы, а значит, повторились бы и цифры периода. Поэтому длина периода не может быть больше $$13$$.

д) При переводе дроби $$\frac{m}{n}$$ в десятичную дробь в остатке могут быть числа от $$0$$ до $$n-1$$ включительно, то есть всего $$n$$ различных остатков.

Следовательно, в периоде может содержаться не более $$n$$ различных цифр, а значит, длина периода не может быть больше $$n$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) Среди любых трёх натуральных чисел всегда есть два числа одинаковой чётности.
б) Среди любых четырёх натуральных чисел всегда есть два числа с одинаковым остатком при делении на $$3$$.
в) Среди любых $$14$$ натуральных чисел всегда есть два числа с одинаковым остатком при делении на $$13$$.
г) Длина периода дроби $$\frac{m}{13}$$ не может быть больше $$13$$.
д) Длина периода дроби $$\frac{m}{n}$$ не может быть больше $$n$$.