Дополнительная задача 9 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) среди любых трёх натуральных чисел всегда есть два числа, которые или оба чётны, или оба нечётны (т. е. имеют одинаковую чётность);
б) среди любых четырёх натуральных чисел всегда есть два числа, дающие одинаковый остаток при делении на 3;
в) среди любых 14 натуральных чисел всегда есть два числа, дающие одинаковый остаток при делении на 13;
г) при переводе дроби m/13 в десятичную дробь длина её периода не может быть больше 13;
д) при переводе дроби m/n в десятичную дробь длина её периода не может быть больше n.

а) Натуральные числа бывают чётными и нечётными. Если взять три натуральных числа, то возможны только такие случаи:

• все три чётные;
• все три нечётные;
• одно чётное, два нечётных;
• одно нечётное, два чётных.

Во всех случаях среди трёх чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Что и требовалось доказать.

б) При делении на $3$ возможны остатки $0$, $1$ или $2$.

Значит, среди четырёх натуральных чисел обязательно найдутся два числа, дающие одинаковый остаток при делении на $3$. Что и требовалось доказать.

в) При делении на $13$ возможны остатки от $0$ до $12$ включительно, то есть всего $13$ различных остатков.

Следовательно, среди любых $14$ натуральных чисел обязательно найдутся два числа, дающие одинаковый остаток при делении на $13$. Что и требовалось доказать.

г) При переводе дроби $$\frac{m}{13}$$ в десятичную дробь в периоде могут встречаться только остатки от $0$ до $12$ включительно. Таких остатков $13$.

Если бы длина периода была больше $13$, то какой-то остаток повторился бы, а значит, повторились бы и цифры периода. Поэтому длина периода не может быть больше $13$.

д) При переводе дроби $$\frac{m}{n}$$ в десятичную дробь в остатке могут быть числа от $0$ до $n-1$ включительно, то есть всего $n$ различных остатков.

Следовательно, в периоде может содержаться не более $n$ различных цифр, а значит, длина периода не может быть больше $n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) Среди любых трёх натуральных чисел всегда есть два числа одинаковой чётности.
б) Среди любых четырёх натуральных чисел всегда есть два числа с одинаковым остатком при делении на $3$.
в) Среди любых $14$ натуральных чисел всегда есть два числа с одинаковым остатком при делении на $13$.
г) Длина периода дроби $$\frac{m}{13}$$ не может быть больше $13$.
д) Длина периода дроби $$\frac{m}{n}$$ не может быть больше $n$.