Упр.9.22 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) |х + 3| + |х — 4| = 7; г) |х — 2| + |х + 3| = 5;
б) |х — 3| + |х + 7| = 5; д) |х + 2| + |х — 5| = 6;
в) |х — 2| + |х + 8| = 14; е) |х + 1| + |х — 5| = 10.

Подробный ответ

а) $$|x+3|+|x-4|=7$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулем сохраняют знак:
$$x\le -3:\quad -(x+3)-(x-4)=7 \Rightarrow -2x+1=7 \Rightarrow x=-3;$$
$$-3<x<4:\quad (x+3)-(x-4)=7 \Rightarrow 7=7;$$
$$x\ge 4:\quad (x+3)+(x-4)=7 \Rightarrow 2x-1=7 \Rightarrow x=4.$$
Значит, $$x\in[-3;4].$$
б) $$|x-3|+|x+7|=5$$
$$x\le -7:\quad -(x-3)-(x+7)=5 \Rightarrow -2x-4=5 \Rightarrow x=-\frac{9}{2},$$
но это не подходит;
$$-7<x<3:\quad -(x-3)+(x+7)=5 \Rightarrow 10=5,$$
корней нет;
$$x\ge 3:\quad (x-3)+(x+7)=5 \Rightarrow 2x+4=5 \Rightarrow x=\frac12,$$
но это не подходит.
Решений нет.
в) $$|x-2|+|x+8|=14$$
$$x\le -8:\quad -(x-2)-(x+8)=14 \Rightarrow -2x-6=14 \Rightarrow x=-10;$$
$$-8<x<2:\quad -(x-2)+(x+8)=14 \Rightarrow 10=14,$$
корней нет;
$$x\ge 2:\quad (x-2)+(x+8)=14 \Rightarrow 2x+6=14 \Rightarrow x=4.$$
Ответ: $$x=-10$$ и $$x=4.$$
г) $$|x-2|+|x+3|=5$$
$$x\le -3:\quad -(x-2)-(x+3)=5 \Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow x=-3;$$
$$-3<x<2:\quad -(x-2)+(x+3)=5 \Rightarrow 5=5;$$
$$x\ge 2:\quad (x-2)+(x+3)=5 \Rightarrow 2x+1=5 \Rightarrow x=2.$$
Значит, $$x\in[-3;2].$$
д) $$|x+2|+|x-5|=6$$
$$x\le -2:\quad -(x+2)-(x-5)=6 \Rightarrow -2x+3=6 \Rightarrow x=-\frac32,$$
но это не подходит;
$$-2<x<5:\quad (x+2)-(x-5)=6 \Rightarrow 7=6,$$
корней нет;
$$x\ge 5:\quad (x+2)+(x-5)=6 \Rightarrow 2x-3=6 \Rightarrow x=\frac92,$$
но это не подходит.
Решений нет.
е) $$|x+1|+|x-5|=10$$
$$x\le -1:\quad -(x+1)-(x-5)=10 \Rightarrow -2x+4=10 \Rightarrow x=-3;$$
$$-1<x<5:\quad (x+1)-(x-5)=10 \Rightarrow 6=10,$$
корней нет;
$$x\ge 5:\quad (x+1)+(x-5)=10 \Rightarrow 2x-4=10 \Rightarrow x=7.$$
Ответ: $$x=-3$$ и $$x=7.$$