Упр.9.20 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра р уравнение f(х) = р:
а) не имеет корней; в) имеет два корня;
б) имеет один корень; г) имеет более двух корней? Решите графически систему уравнений:
а) {y = 3|x|; y = x^2}; б) {y = 1/2 |x|; y = -0,5x + 4}.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} |x|, & x\le 1,\\ x^2, & 1<x\le 3. \end{cases} $$

Для построения графика достаточно отметить, что при $$x\le 1$$ это график $$y=|x|$$, а при $$1<x\le 3$$ — часть параболы $$y=x^2$$. Точка $$x=1$$ принадлежит первой части, поэтому точка $$\left(1;1\right)$$ закрашена, а точка $$\left(3;9\right)$$ тоже закрашена.

Из графика видно, что значения функции начинаются с $$0$$ и далее принимают все значения до бесконечности, причём:

при $$p<0$$ корней нет;
при $$p=0$$ один корень;
при $$0<p\le 1$$ два корня;
при $$1<p<9$$ два корня;
при $$p=9$$ два корня;
при $$p>9$$ один корень.

Следовательно:

а) $$f(x)=p$$ не имеет корней при $$p<0$$;
б) имеет один корень при $$p=0$$ и $$p>9$$;
в) имеет два корня при $$0<p\le 9$$;
г) более двух корней не имеет ни при каком $$p$$.

Решим графически систему

$$ \begin{cases} y=3|x|,\\ y=x^2. \end{cases} $$

Точки пересечения найдём из уравнения:

$$ x^2=3|x|. $$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

$$ x^2=3x \\ x(x-3)=0 \\ x=0 \text{ или } x=3. $$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

$$ x^2=-3x \\ x(x+3)=0 \\ x=-3. $$

Соответствующие значения $$y$$:

$$ x=-3 \Rightarrow y=9,\quad x=0 \Rightarrow y=0,\quad x=3 \Rightarrow y=9. $$

Значит, точки пересечения: $$(-3;9)$$, $$ (0;0)$$, $$ (3;9)$$.