Упр.9.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) {y = 3|x|; y = x^2}; б) {y = 1/2 |x|; y = -0,5x + 4}. Дана функция у = f(х), где f(х) = {|x|, если x < 0; x^2, если x ? 0}. а) Найдите f(-3), f(3), f(0). б) Постройте график функции. в) Перечислите свойства функции.

а) Решим систему графически:

$$ \begin{cases} y=3|x|,\\ y=x^2. \end{cases} $$

Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

$$ x^2=3|x|. $$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$ x^2=3x \\ x(x-3)=0 \\ x=0 \text{ или } x=3. $$
Тогда $$y=0$$ и $$y=9.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем
$$ x^2=-3x \\ x(x+3)=0 \\ x=-3. $$
Тогда $$y=9.$$

Значит, точки пересечения: $$(-3;9),\ (0;0),\ (3;9).$$

б) Решим систему

$$ \begin{cases} y=\dfrac12|x|,\\ y=-0{,}5x+4. \end{cases} $$

Приравняем правые части:

$$ \dfrac12|x|=-0{,}5x+4. $$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда
$$ \dfrac12x=-0{,}5x+4 \\ x=4. $$
Тогда
$$ y=\dfrac12\cdot 4=2. $$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем
$$ -\dfrac12x=-0{,}5x+4, $$
что невозможно, так как левая и правая части не могут быть равны при любом $$x<0.$$

Следовательно, точка пересечения одна: $$ (4;2). $$

а) Для функции

$$ f(x)= \begin{cases} |x|, & \text{если } x<0,\\ x^2, & \text{если } x\ge 0 \end{cases} $$

находим:

$$ f(-3)=|-3|=3,\qquad f(3)=3^2=9,\qquad f(0)=0^2=0. $$

б) График функции состоит из двух частей:

• при $$x<0$$ — график функции $$y=|x|,$$ то есть луч прямой $$y=-x$$;
• при $$x\ge 0$$ — график параболы $$y=x^2.$$

в) Свойства функции:

• область определения: $$(-\infty;+\infty);$$
• область значений: $$[0;+\infty);$$
• на $$(-\infty;0]$$ функция убывает;
• на $$[0;+\infty)$$ функция возрастает;
• наименьшее значение: $$0,$$ достигается при $$x=0;$$
• наибольшего значения не существует;
• функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ

а) $$(-3;9),\ (0;0),\ (3;9).$$
б) $$ (4;2). $$
$$f(-3)=3,\ f(3)=9,\ f(0)=0.$$
Свойства функции: $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$