Упр.9.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Решим систему графически:

$$\begin{cases} y=3|x|,\\ y=x^2. \end{cases}$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

$$x^2=3|x|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$x^2=3x \\ x(x-3)=0 \\ x=0 \text{ или } x=3.$$
Тогда $$y=0$$ и $$y=9.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем
$$x^2=-3x \\ x(x+3)=0 \\ x=-3.$$
Тогда $$y=9.$$

Значит, точки пересечения: $$(-3;9),\ (0;0),\ (3;9).$$

б) Решим систему

$$\begin{cases} y=\dfrac12|x|,\\ y=-0{,}5x+4. \end{cases}$$

Приравняем правые части:

$$\dfrac12|x|=-0{,}5x+4.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда
$$\dfrac12x=-0{,}5x+4 \\ x=4.$$
Тогда
$$y=\dfrac12\cdot 4=2.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем
$$-\dfrac12x=-0{,}5x+4,$$
что невозможно, так как левая и правая части не могут быть равны при любом $$x<0.$$

Следовательно, точка пересечения одна: $$(4;2).$$

а) Для функции

$$f(x)= \begin{cases} |x|, & \text{если } x<0,\\ x^2, & \text{если } x\ge 0 \end{cases}$$

находим:

$$f(-3)=|-3|=3,\qquad f(3)=3^2=9,\qquad f(0)=0^2=0.$$

б) График функции состоит из двух частей:

• при $$x<0$$ — график функции $$y=|x|,$$ то есть луч прямой $$y=-x$$;
• при $$x\ge 0$$ — график параболы $$y=x^2.$$

в) Свойства функции:

• область определения: $$(-\infty;+\infty);$$
• область значений: $$[0;+\infty);$$
• на $$(-\infty;0]$$ функция убывает;
• на $$[0;+\infty)$$ функция возрастает;
• наименьшее значение: $$0,$$ достигается при $$x=0;$$
• наибольшего значения не существует;
• функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ

а) $$(-3;9),\ (0;0),\ (3;9).$$
б) $$(4;2).$$
$$f(-3)=3,\ f(3)=9,\ f(0)=0.$$
Свойства функции: $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$