Упр.9.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) |х| > 5; в) |х| ? —х + 4; д) |х| > х — 2;
б) |х| < 4; г) |х| ? х + 6; е) |х| > -х + 3

Подробный ответ

а) $$|x| > 5$$
Это неравенство выполняется при значениях, лежащих вне промежутка $$[-5; 5]$$:
$$x < -5 \text{ или } x > 5.$$
б) $$|x| < 4$$
Тогда $$x$$ должен лежать между числами $$-4$$ и $$4$$:
$$-4 < x < 4.$$
в) $$|x| \le -x + 4$$
Рассмотрим случаи:
1) при $$x \ge 0$$ имеем $$|x| = x$$, тогда
$$x \le -x + 4 \Rightarrow 2x \le 4 \Rightarrow x \le 2.$$
С учётом $$x \ge 0$$ получаем $$0 \le x \le 2$$.
2) при $$x < 0$$ имеем $$|x| = -x$$, тогда
$$-x \le -x + 4,$$
что верно при любом $$x < 0$$.
Итак, решение:
$$x \le 2.$$
г) $$|x| \ge x + 6$$
Рассмотрим случаи:
1) при $$x \ge 0$$ имеем $$|x| = x$$, тогда
$$x \ge x + 6,$$
что невозможно.
2) при $$x < 0$$ имеем $$|x| = -x$$, тогда
$$-x \ge x + 6 \Rightarrow -2x \ge 6 \Rightarrow x \le -3.$$
С учётом $$x < 0$$ получаем $$x \le -3$$.
д) $$|x| > x — 2$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$ и
$$x > x — 2,$$
что верно при любом $$x \ge 0$$.
Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$ и
$$-x > x — 2 \Rightarrow -2x > -2 \Rightarrow x < 1,$$
что также верно при любом $$x < 0$$.
Значит, неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.
е) $$|x| > -x + 3$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$ и
$$x > -x + 3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 1{,}5.$$
Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$ и
$$-x > -x + 3,$$
что невозможно.
Следовательно, $$x > 1{,}5.$$