Упр.9 Вариант 1 Контрольная работа 1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения $$\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}$$ не зависит от значений входящих в него переменных.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}.$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ а $$2a+2b=2(a+b),$$ получаем

$$\left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}.$$

Раскроем квадрат:

$$4ab+(a-b)^2=4ab+a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}.$$

Сократим:

$$\frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}.$$

Так как $$\frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b},$$ то

$$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от значений переменных.

Ответ

$$1$$