Упр.9.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=|x|, \\ y=-2x+6; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=-\frac{1}{3}x-4, \\ y=-|x|; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-3, \\ y=|x|; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} y=-|x|, \\ y=2x-3; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} y=\frac{1}{3}x+4, \\ y=|x|; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} y=\frac{1}{3}x+2, \\ y=-|x|. \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Построим графики $$y=|x|$$ и $$y=-2x+6$$. Точка пересечения удовлетворяет уравнению
$$|x|=-2x+6.$$
При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$x=-2x+6,$$
$$3x=6,$$
$$x=2,\quad y=|2|=2.$$
При $$x<0$$ получаем противоречие. Значит, решение одно: $$(2; 2).$$
б) Решаем систему
$$\begin{cases} y=-\frac13x-4,\\ y=-|x| \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$-|x|=-\frac13x-4.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$-x=-\frac13x-4,$$
$$-\frac23x=-4,$$
$$x=6,\quad y=-6.$$
2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$x=-\frac13x-4,$$
$$\frac43x=-4,$$
$$x=-3,\quad y=-3.$$
Получаем точки пересечения: $$(-3; -3)$$ и $$(6; -6).$$
в) Решаем систему
$$\begin{cases} y=-\frac12x-3,\\ y=|x| \end{cases}$$
Приравняем:
$$|x|=-\frac12x-3.$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, и
$$x=-\frac12x-3,$$
$$\frac32x=-3,$$
$$x=-2,$$
что не подходит условию $$x \ge 0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и
$$-x=-\frac12x-3,$$
$$-\frac12x=-3,$$
$$x=6,$$
что не подходит условию $$x<0$$.
Следовательно, решений нет.
г) Решаем систему
$$\begin{cases} y=-|x|,\\ y=2x-3 \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=2x-3.$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$-x=2x-3,$$
$$3x=3,$$
$$x=1,\quad y=-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$x=2x-3,$$
$$x=3,$$
что не подходит условию $$x<0$$.
Значит, решение: $$(1; -1).$$
д) Решаем систему
$$\begin{cases} y=\frac13x+4,\\ y=|x| \end{cases}$$
Приравняем:
$$|x|=\frac13x+4.$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x=\frac13x+4,$$
$$\frac23x=4,$$
$$x=6,\quad y=6.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x=\frac13x+4,$$
$$-\frac43x=4,$$
$$x=-3,\quad y=3.$$
Получаем точки пересечения: $$(-3; 3)$$ и $$(6; 6).$$
е) Решаем систему
$$\begin{cases} y=\frac13x+2,\\ y=-|x| \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=\frac13x+2.$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$-x=\frac13x+2,$$
$$-\frac43x=2,$$
$$x=-\frac32,$$
что не подходит условию $$x \ge 0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$x=\frac13x+2,$$
$$\frac23x=2,$$
$$x=3,$$
что не подходит условию $$x<0$$.
Следовательно, решений нет.