Дополнительная задача 8 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$x+\frac{1}{x}=2$$; б) $$x+\frac{4}{x}=-4$$; в) $$x+\frac{1}{x-1}=3$$; г) $$x+\frac{4}{x+3}=-7$$; д) $$x^2+\frac{4}{x^2-9}=13$$; е) $$\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{x-3}+\frac{3}{x-2}$$.
- В тестовой части компьютерной программы по алгебре есть задание, в котором при нажатии клавиши «Ввод» датчик случайных чисел выбирает $$k$$ из чисел $$-2,-1,0,1,2$$ и выбирает $$b$$ из чисел $$1,2,3,4,5$$, а на мониторе строится график функции $$y=kx+b$$. Какова вероятность того, что эта прямая: а) пересечёт ось ординат; б) пересечёт ось ординат выше точки $$(0;2)$$; в) пересечёт ось ординат ниже точки $$(0;3)$$; г) не имеет общих точек с $$Ox$$; д) пересечёт вторую координатную четверть; е) пройдёт выше точки $$(1;1)$$?
а) $$x+\frac{1}{x}=2,\quad x\ne 0$$
$$x^2+1=2x$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
б) $$x+\frac{4}{x}=-4,\quad x\ne 0$$
$$x^2+4=-4x$$
$$x^2+4x+4=0$$
$$\left(x+2\right)^2=0$$
$$x=-2$$
в) $$x+\frac{1}{x-1}=3,\quad x\ne 1$$
$$x\left(x-1\right)+1=3\left(x-1\right)$$
$$x^2-x+1=3x-3$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$\left(x-2\right)^2=0$$
$$x=2$$
г) $$x+\frac{4}{x+3}=-7,\quad x\ne -3$$
$$x\left(x+3\right)+4=-7\left(x+3\right)$$
$$x^2+3x+4=-7x-21$$
$$x^2+10x+25=0$$
$$\left(x+5\right)^2=0$$
$$x=-5$$
д) $$x^2+\frac{4}{x^2-9}=13,\quad x\ne \pm 3$$
$$x^2+\frac{4}{x^2-9}-13=0$$
$$x^2\left(x^2-9\right)+4-13\left(x^2-9\right)=0$$
$$x^4-22x^2+121=0$$
$$\left(x^2-11\right)^2=0$$
$$x^2=11$$
$$x=\pm \sqrt{11}$$
е) $$\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{x-3}+\frac{3}{x-2},\quad x\ne 2,\; x\ne 3$$
Умножим обе части на $$6\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$:
$$2\left(x-2\right)\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)^2=12\left(x-2\right)+18\left(x-3\right)$$
$$5x^2-38x+65=0$$
$$D=38^2-4\cdot 5\cdot 65=144=12^2$$
$$x_{1,2}=\frac{38\pm 12}{10}$$
$$x_1=\frac{26}{10}=2{,}6,\qquad x_2=\frac{50}{10}=5$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Пусть всего равновозможных исходов: $$5\cdot 5=25$$.
а) Прямая всегда пересекает ось ординат в точке $$\left(0;b\right)$$, значит вероятность равна $$1$$.
б) Выше точки $$\left(0;2\right)$$ прямая пересечёт ось ординат при $$b>2$$, то есть при $$b\in\{3,4,5\}$$.
Тогда
$$P=\frac{5\cdot 3}{25}=\frac{3}{5}=0{,}6$$
в) Ниже точки $$\left(0;3\right)$$ прямая пересечёт ось ординат при $$b<3$$, то есть при $$b\in\{1,2\}$$.
Тогда
$$P=\frac{5\cdot 2}{25}=\frac{2}{5}=0{,}4$$
г) Прямая не имеет общих точек с осью $$Ox$$ только при $$k=0$$.
Тогда
$$P=\frac{1\cdot 5}{25}=\frac{1}{5}=0{,}2$$
д) Во вторую координатную четверть прямая попадёт всегда, так как пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;b\right)$$, где $$b>0$$.
Значит, вероятность равна $$1$$.
е) Прямая пройдёт выше точки $$\left(1;1\right)$$, если
$$k\cdot 1+b>1,\quad k+b>1$$
Подсчитаем подходящие пары $$\left(k,b\right)$$:
при $$k=-2$$: $$b\in\{4,5\}$$ — 2 случая;
при $$k=-1$$: $$b\in\{3,4,5\}$$ — 3 случая;
при $$k=0$$: $$b\in\{2,3,4,5\}$$ — 4 случая;
при $$k=1$$: $$b\in\{1,2,3,4,5\}$$ — 5 случаев;
при $$k=2$$: $$b\in\{1,2,3,4,5\}$$ — 5 случаев.
Всего $$2+3+4+5+5=19$$ случаев.
Тогда
$$P=\frac{19}{25}=0{,}76$$
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=2$$; г) $$x=-5$$; д) $$x=\pm\sqrt{11}$$; е) $$x=2{,}6,\; 5$$.
Вероятности: а) $$1$$; б) $$0{,}6$$; в) $$0{,}4$$; г) $$0{,}2$$; д) $$1$$; е) $$0{,}76$$.
