Дополнительная задача 8 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) с областью значений (-?; 1];
б) с областью значений (-?; -10];
в) с наибольшим значением 3 на отрезке [0; 2];
г) с наибольшим значением 10 на отрезке [1; 2];
д) с наименьшим значением 3 на отрезке [-2; 2];
е) с наименьшим значением 3 на отрезке [-2; 1]? Решите уравнение:
а) x + 1/x = 2; г) x + 4/(x + 3) = -7;
б) x + 4/x = -4; д) x^2 + 4/(x^2 — 9) = 13;
в) x + 1/(x — 1) = 3; е) (x — 2)/3 + (x — 3)/2 = 2/(x — 3) + 3/(x — 2).

1. График функции $$y=-|x|$$ имеет область значений $$(-\infty;0].$$

   Если график сдвинуть вдоль оси $$Oy$$ на $$a$$ единиц вверх, то получится функция $$y=-|x|+a$$, а её область значений станет $$(-\infty;a].$$

   Тогда:

   а) $$(-\infty;1]$$ — сдвиг на 1 единицу вверх;

   б) $$(-\infty;-10]$$ — сдвиг на 10 единиц вниз;

   в) на отрезке $$[0;2]$$ наибольшее значение функции $$y=-|x|$$ равно $$0$$, значит, нужно сдвинуть график на 3 единицы вверх;

   г) на отрезке $$[1;2]$$ наибольшее значение функции $$y=-|x|$$ равно $$-1$$, значит, нужно сдвинуть график на 11 единиц вверх;

   д) на отрезке $$[-2;2]$$ наименьшее значение функции $$y=-|x|$$ равно $$-2$$, значит, нужно сдвинуть график на 5 единиц вверх;

   е) на отрезке $$[-2;1]$$ наименьшее значение функции $$y=-|x|$$ равно $$-2$$, значит, нужно сдвинуть график на 5 единиц вверх.

2. Решим уравнения.

   а)

   $$x+\frac{1}{x}=2,\quad x\ne 0$$
   
   $$x^2+1=2x$$
   
   $$x^2-2x+1=0$$
   
   $$(x-1)^2=0$$
   
   $$x=1.$$

   б)

   $$x+\frac{4}{x}=-4,\quad x\ne 0$$
   
   $$x^2+4=-4x$$
   
   $$x^2+4x+4=0$$
   
   $$(x+2)^2=0$$
   
   $$x=-2.$$

   в)

   $$x+\frac{1}{x-1}=3,\quad x\ne 1$$
   
   $$x(x-1)+1=3(x-1)$$
   
   $$x^2-x+1=3x-3$$
   
   $$x^2-4x+4=0$$
   
   $$(x-2)^2=0$$
   
   $$x=2.$$

   г)

   $$x+\frac{4}{x+3}=-7,\quad x\ne -3$$
   
   $$x(x+3)+4=-7(x+3)$$
   
   $$x^2+3x+4=-7x-21$$
   
   $$x^2+10x+25=0$$
   
   $$(x+5)^2=0$$
   
   $$x=-5.$$

   д)

   $$x^2+\frac{4}{x^2-9}=13,\quad x\ne \pm 3$$
   
   $$x^2+\frac{4}{x^2-9}-13=0$$
   
   $$x^2(x^2-9)+4-13(x^2-9)=0$$
   
   $$x^4-22x^2+121=0$$
   
   $$(x^2-11)^2=0$$
   
   $$x^2=11$$
   
   $$x=\pm\sqrt{11}.$$

   е)

   $$\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{x-3}+\frac{3}{x-2},\quad x\ne 2,\; x\ne 3$$
   
   $$\frac{2(x-2)+3(x-3)}{6}=\frac{2(x-2)+3(x-3)}{(x-3)(x-2)}$$
   
   $$\frac{5x-13}{6}=\frac{5x-13}{(x-3)(x-2)}$$
   
   $$\frac{5x-13}{6}-\frac{5x-13}{(x-3)(x-2)}=0$$
   
   $$\frac{(5x-13)(x-3)(x-2)-6(5x-13)}{6(x-3)(x-2)}=0$$
   
   $$(5x-13)\bigl((x-3)(x-2)-6\bigr)=0$$
   
   $$(5x-13)(x^2-5x)=0$$
   
   $$x(5x-13)(x-5)=0.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x=0,\quad x=\frac{13}{5},\quad x=5.$$

Ответ

1) а) на 1 единицу вверх; б) на 10 единиц вниз; в) на 3 единицы вверх; г) на 11 единиц вверх; д) на 5 единиц вверх; е) на 5 единиц вверх.
2) а) $$x=1$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=2$$; г) $$x=-5$$; д) $$x=\pm\sqrt{11}$$; е) $$x=0,\; \frac{13}{5},\; 5$$.