Упр.8.32 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Преобразуем каждую дробь отдельно:

$$ \left(\frac{a^{-n}-b^{-n}}{a^{-2n}-a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}}\right)^{-1} = \frac{a^{-2n}-a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}}{a^{-n}-b^{-n}} $$
$$ \frac{a^{-2n}-a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}}{a^{-n}-b^{-n}} = \frac{\frac1{a^{2n}}-\frac1{a^n b^n}+\frac1{b^{2n}}}{\frac1{a^n}-\frac1{b^n}} = \frac{b^{2n}-a^n b^n+a^{2n}}{a^n b^n(b^n-a^n)} $$

$$ \left(\frac{a^{-n}+b^{-n}}{a^{-2n}+a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}}\right)^{-1} = \frac{a^{-2n}+a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}}{a^{-n}+b^{-n}} = \frac{b^{2n}+a^n b^n+a^{2n}}{a^n b^n(b^n+a^n)} $$

Тогда исходное выражение равно

$$ \frac{b^{2n}-a^n b^n+a^{2n}}{a^n b^n(b^n-a^n)} + \frac{b^{2n}+a^n b^n+a^{2n}}{a^n b^n(b^n+a^n)} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(b^{2n}-a^n b^n+a^{2n})(b^n+a^n)+(b^{2n}+a^n b^n+a^{2n})(b^n-a^n)}{a^n b^n(b^n-a^n)(b^n+a^n)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \begin{aligned} &(b^{2n}-a^n b^n+a^{2n})(b^n+a^n) \\ &\quad +(b^{2n}+a^n b^n+a^{2n})(b^n-a^n) \\ &= 2b^{3n}-2a^{3n} \end{aligned} $$

Тогда

$$ \frac{2b^{3n}-2a^{3n}}{a^n b^n(b^n-a^n)(b^n+a^n)} = \frac{2(b^{3n}-a^{3n})}{a^n b^n(b^{2n}-a^{2n})} $$

Используем формулу разности кубов:

$$ b^{3n}-a^{3n}=(b^n-a^n)(b^{2n}+a^n b^n+a^{2n}) $$

После сокращения получаем

$$ \frac{2b^{2n}}{a^n(b^{2n}-a^{2n})} $$