Упр.8.31 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

$$\left(\frac{a^{-n}+b^{-n}}{a^{-n}-b^{-n}}-\frac{a^{-n}-b^{-n}}{a^{-n}+b^{-n}}\right)^{-1}$$

Преобразуем дроби:

$$\frac{a^{-n}+b^{-n}}{a^{-n}-b^{-n}} = \frac{\frac1{a^n}+\frac1{b^n}}{\frac1{a^n}-\frac1{b^n}} = \frac{b^n+a^n}{b^n-a^n},$$
$$\frac{a^{-n}-b^{-n}}{a^{-n}+b^{-n}} = \frac{\frac1{a^n}-\frac1{b^n}}{\frac1{a^n}+\frac1{b^n}} = \frac{b^n-a^n}{b^n+a^n}.$$

Тогда

$$\left(\frac{b^n+a^n}{b^n-a^n}-\frac{b^n-a^n}{b^n+a^n}\right)^{-1} = \left( \frac{(b^n+a^n)^2-(b^n-a^n)^2}{(b^n-a^n)(b^n+a^n)} \right)^{-1}.$$

Вычислим числитель:

$$(b^n+a^n)^2-(b^n-a^n)^2 = b^{2n}+2a^nb^n+a^{2n}-b^{2n}+2a^nb^n-a^{2n} = 4a^nb^n.$$

Значит,

$$\left(\frac{4a^nb^n}{b^{2n}-a^{2n}}\right)^{-1} = \frac{b^{2n}-a^{2n}}{4a^nb^n}.$$

Ответ

$$\frac{b^{2n}-a^{2n}}{4a^nb^n}$$