Упр.8.30 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

8.30. Докажите тождество.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть тождества:

$$\left(\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}\cdot \frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}\right): \frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1}$$

1) Упростим первую дробь:

$$\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2} = \frac{y^2\left(\frac{x}{y}-1\right)^2}{x\left(1+\frac{y}{x}\right)^2} = \frac{y^2\left(\frac{x-y}{y}\right)^2}{x\left(\frac{x+y}{x}\right)^2} = \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2}.$$

2) Упростим вторую дробь:

$$\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)} = \frac{y^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}{x\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)} = \frac{y^2\cdot \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}{x\cdot \frac{x^2+y^2}{xy}} = \frac{y}{x^2}.$$

Тогда произведение первых двух дробей равно:

$$\frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2}\cdot \frac{y}{x^2} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}.$$

3) Упростим делитель:

$$\frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1} = \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} = \frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}} = \frac{y(x-y)}{x(x+y)}.$$

4) Делим на полученную дробь:

$$\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}\cdot \frac{x(x+y)}{y(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}.$$

Левая часть равна правой части, значит тождество верно.