Упр.8.24 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а)

$$\frac{2-a-5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1}-1} = \frac{2-a-\frac{5}{a+2}}{\frac{5}{4-a^2}-1}$$

Приведём числитель и знаменатель к общим знаменателям:
$$2-a-\frac{5}{a+2} = \frac{(2-a)(a+2)-5}{a+2} = \frac{4-a^2-5}{a+2} = \frac{-a^2-1}{a+2}$$
$$\frac{5}{4-a^2}-1 = \frac{5-(4-a^2)}{4-a^2} = \frac{1+a^2}{4-a^2}$$

Тогда
$$\frac{\frac{-a^2-1}{a+2}}{\frac{1+a^2}{4-a^2}} = \frac{-(a^2+1)}{a+2}\cdot \frac{4-a^2}{1+a^2} = -\frac{4-a^2}{a+2}$$

Так как
$$4-a^2=(2-a)(2+a),$$
то
$$-\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}=-(2-a)=a-2.$$

б)

$$\frac{(x^2-1)^{-1}-3}{3(x-1)-(x+1)^{-1}} = \frac{\frac{1}{x^2-1}-3}{3(x-1)-\frac{1}{x+1}}$$

Приведём числитель и знаменатель к общим знаменателям:
$$\frac{1}{x^2-1}-3 = \frac{1-3(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{4-3x^2}{x^2-1}$$
$$3(x-1)-\frac{1}{x+1} = \frac{3(x-1)(x+1)-1}{x+1} = \frac{3x^2-4}{x+1}$$

Тогда
$$\frac{\frac{4-3x^2}{x^2-1}}{\frac{3x^2-4}{x+1}} = \frac{4-3x^2}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{3x^2-4}$$

Так как
$$x^2-1=(x-1)(x+1), \qquad 4-3x^2=-(3x^2-4),$$
получаем
$$\frac{-(3x^2-4)}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2-4} = -\frac{1}{x-1} = \frac{1}{1-x}.$$