Дополнительная задача 7 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) с областью определения (-?; 1];
б) с областью определения (-?; —10];
в) с наибольшим значением 3 на отрезке [0; 2];
г) с наибольшим значением 10 на отрезке [1; 2];
д) с наименьшим значением 3 на луче (-?; -3];
е) с наименьшим значением 3 на отрезке [0; 3]?
Числа р, q произвольно выбирают из множества {—2; —1; 0; 1; 2} и подставляют в уравнение х^2 + рх + q = 0. Какова вероятность того, что полученное квадратное уравнение:
а) будет полным;
б) будет неполным;
в) будет иметь единственный корень;
г) будет иметь два корня;
д) будет иметь два корня, один из которых равен нулю;
е) не будет иметь корней?

Подробный ответ

Всего пар $$\left(p,q\right)$$: $$5 \cdot 5 = 25.$$

а) Полное квадратное уравнение.
Уравнение $$x^2+px+q=0$$ будет полным, если $$p \ne 0$$ и $$q \ne 0$$.
Тогда:
$$p \in \{-2;-1;1;2\}, \quad q \in \{-2;-1;1;2\}.$$
Число вариантов:
$$4 \cdot 4 = 16.$$
Вероятность:
$$\frac{16}{25}=0{,}64.$$
б) Неполное квадратное уравнение.
Уравнение будет неполным, если $$p=0$$ или $$q=0$$.
Если $$p=0$$, то $$q$$ можно выбрать 5 способами.
Если $$q=0$$, то $$p$$ можно выбрать 5 способами.
Пара $$\left(0,0\right)$$ посчитана дважды, поэтому вычтем её один раз:
$$5+5-1=9.$$
Вероятность:
$$\frac{9}{25}=0{,}36.$$
в) Единственный корень.
Для этого дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=p^2-4q=0.$$
Проверим возможные значения:
$$q=0,\ p=0; \quad q=1,\ p=\pm 2; \quad q=-1,\ p^2=-4 \text{ — невозможно}.$$
Подходящие пары:
$$\left(0,0\right),\ \left(2,1\right),\ \left(-2,1\right).$$
Их 3.
Вероятность:
$$\frac{3}{25}=0{,}12.$$
г) Два корня.
Нужно, чтобы $$D>0$$:
$$p^2-4q>0.$$
Подсчитаем подходящие пары:
при $$q=-2$$ — 5 значений $$p$$;
при $$q=-1$$ — 4 значения $$p$$;
при $$q=0$$ — 4 значения $$p$$;
при $$q=1$$ — 2 значения $$p$$;
при $$q=2$$ — 0 значений $$p$$.
Итого:
$$5+4+4+2=15.$$
Вероятность:
$$\frac{15}{25}=0{,}6.$$
д) Два корня, один из которых равен нулю.
Один корень равен нулю тогда и только тогда, когда $$q=0$$. Тогда уравнение имеет вид:
$$x^2+px=0 \quad \Rightarrow \quad x(x+p)=0.$$
Чтобы корня было два, нужно $$p \ne 0$$.
Подходящие значения:
$$p \in \{-2;-1;1;2\}, \quad q=0.$$
Таких пар 4.
Вероятность:
$$\frac{4}{25}=0{,}16.$$
е) Корней нет.
Нужно, чтобы $$D<0$$:
$$p^2-4q<0.$$
Это возможно при:
$$q=1,\ p\in\{-1;0;1\};$$
$$q=2,\ p\in\{-2;-1;0;1;2\}.$$
Итого:
$$3+5=8.$$
Вероятность:
$$\frac{8}{25}=0{,}32.$$