Дополнительная задача 7 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) Найдите значение х, при котором f(x) в два раза больше, чем 2/5.
в) Найдите наименьшее натуральное значение х, при котором f(x) больше, чем 0,9.
г) Проверьте, что f(x + 1) > f{x), х > 0.
д) Докажите, что при увеличении значения х увеличиваются и значения f(x).
е) Докажите, что функция у = f(x), х > 0, где f(x) = (2 + x)/(5 + x), ограничена сверху.

1. Преобразуем функцию:

   $$f(x)=\frac{x+2}{x+5}=1-\frac{3}{x+5}, \quad x>0.$$

   Так как при $$x>0$$ имеем $$0<\frac{3}{x+5}<1,$$ то $$0<f(x)<1.$$

   Для эскиза удобно взять несколько значений:

   $$f(1)=\frac{3}{6}=\frac12,\quad f(2)=\frac{4}{7},\quad f(3)=\frac{5}{8},\quad f(4)=\frac{6}{9}=\frac23.$$

   По этим точкам строим возрастающий график, который при больших $$x$$ приближается к прямой $$y=1$$ снизу.

2. Найдём $$x,$$ при котором $$f(x)$$ в два раза больше, чем $$\frac25$$:

   $$\frac{x+2}{x+5}=2\cdot\frac25=\frac45.$$

   $$5(x+2)=4(x+5)$$

   $$5x+10=4x+20$$

   $$x=10.$$

3. Найдём наименьшее натуральное $$x,$$ при котором $$f(x)>0{,}9$$:

   $$\frac{x+2}{x+5}>0{,}9=\frac9{10}.$$

   $$10(x+2)>9(x+5)$$

   $$10x+20>9x+45$$

   $$x>25.$$

   Наименьшее натуральное значение: $$x=26.$$

4. Проверим, что $$f(x+1)>f(x)$$ при $$x>0$$:

   $$f(x+1)=\frac{x+3}{x+6}, \quad f(x)=\frac{x+2}{x+5}.$$

   Рассмотрим разность:

   $$ f(x+1)-f(x)=\frac{x+3}{x+6}-\frac{x+2}{x+5} =\frac{(x+3)(x+5)-(x+2)(x+6)}{(x+6)(x+5)} =\frac{3}{(x+6)(x+5)}>0. $$

   Значит, $$f(x+1)>f(x).$$

5. Докажем, что при увеличении $$x$$ увеличивается и $$f(x)$$. Пусть $$0<x_1<x_2$$. Тогда

   $$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2+2}{x_2+5}-\frac{x_1+2}{x_1+5} =\frac{3(x_2-x_1)}{(x_1+5)(x_2+5)}>0. $$

   Следовательно, $$f(x_2)>f(x_1)$$, то есть функция возрастает.

6. Докажем, что функция ограничена сверху:

   $$f(x)=\frac{x+2}{x+5}=1-\frac{3}{x+5}.$$

   При $$x>0$$ имеем $$x+5>0,$$ значит $$\frac{3}{x+5}>0.$$ Тогда

   $$f(x)=1-\frac{3}{x+5}<1.$$

   Следовательно, функция ограничена сверху числом $$1$$.

Ответ

а) График проходит через точки $$\left(1;\frac12\right), \left(2;\frac47\right), \left(3;\frac58\right), \left(4;\frac23\right)$$ и возрастает, приближаясь к прямой $$y=1$$ снизу.
б) $$x=10$$.
в) $$x=26$$.
г) $$f(x+1)>f(x)$$ при $$x>0$$.
д) Функция возрастает при $$x>0$$.
е) Функция ограничена сверху числом $$1$$.