Упр.7 Вариант 1 Контрольная работа 1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Найдите значение выражения.

$$\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)$$

Приведём каждую разность к общему знаменателю:

$$\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}:\frac{(x^2+1)^2-(x^2-1)^2}{(x^2-1)(x^2+1)}$$

Вычислим числители:

$$(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=4x$$

$$(x^2+1)^2-(x^2-1)^2=x^4+2x^2+1-(x^4-2x^2+1)=4x^2$$

Тогда

$$\frac{4x}{x^2-1}:\frac{4x^2}{x^4-1} = \frac{4x}{x^2-1}\cdot\frac{x^4-1}{4x^2}$$

Разложим разность квадратов:

$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$$

Получаем:

$$\frac{4x}{x^2-1}\cdot\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{4x^2} = \frac{x^2+1}{x}$$

Подставим $$x=-3\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$$:

$$\frac{x^2+1}{x} = \frac{\left(-\frac{15}{4}\right)^2+1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16}+1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{241}{16}}{-\frac{15}{4}} = \frac{241}{16}\cdot\frac{4}{-15} = -\frac{241}{60}$$

Ответ

$$-\frac{241}{60}$$