Упр.64 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

f(x) = система
x2 + 4х + 3, если х < -1, -x2 + 1, если х > = -1.
С помощью графика определите, при каких значениях р уравнение f(x) = р имеет один корень, два корня, три корня.

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+4x+3, & x<-1,\\ -x^2+1, & x\ge -1. \end{cases} $$

1) Для ветви $$y=x^2+4x+3$$ при $$x<-1$$ имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Преобразуем:

$$ x^2+4x+3=(x+2)^2-1. $$

Её вершина: $$(-2;\,-1)$$. При $$x=-1$$ получаем $$f(-1)= -(-1)^2+1=0$$, значит точка $$(-1;0)$$ принадлежит второй ветви.

2) Для ветви $$y=-x^2+1$$ при $$x\ge -1$$ имеем параболу, ветви которой направлены вниз. Её вершина: $$ (0;1) $$.

По графику определяем число решений уравнения $$f(x)=p$$, то есть число точек пересечения графика с горизонтальной прямой $$y=p$$.

• Если $$p<-1$$ или $$p>1$$, прямая пересекает график один раз.
• Если $$p=-1$$ или $$p=1$$, прямая пересекает график два раза.
• Если $$-1<p<1$$, прямая пересекает график три раза.

Ответ

Один корень при $$p\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$.

Два корня при $$p=-1$$ и $$p=1$$.

Три корня при $$p\in(-1;\,1)$$.