Дополнительная задача 6 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Докажите, что уравнения ах^2 + bх + с = 0 и сх^2 + bх + а = 0 имеют одинаковое число корней.
б) Корни уравнения ах^2 + bх + с = 0 имеют разные знаки. Сколько корней имеет уравнение ах^2 + 2bх + 4с = 0?
в) Разность корней уравнения ах^2 + bх + с = 0 равна 3. Сколько корней имеет уравнение а^3 х^2 + b^3 х + с^3? = 0?
г) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 имеет единственный корень. Сколько корней имеет уравнение 4ах^2 + 2bх + с = 0?
д) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 имеет единственный корень. Сколько корней имеет уравнение сх^2 — (b + 1)х + а = 0 при b < -0,5?
е) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 не имеет корней. Сколько корней имеет уравнение ах^2 + (2b + 1)х + 4с = 0 при b < -0,25?
Для испытания и случайного события A перечислите все э. с., составляющие противоположное событие ?А.
а) Выбирают целое число от 1 до 10, А = «число больше v10».
б) Монету бросают дважды, А = «выпали две решки».
в) Монету бросают дважды, А = «выпали разные результаты».
г) Монету бросают трижды, А = «хотя бы раз выпала решка».
д) Выбирают «доминошку», А = «на ней оба числа очков меньше 5».
е) Выбирают «доминошку», А = «на ней оба числа очков больше 2».
Пусть $$ac \ne 0,$$ тогда $$a \ne 0$$ и $$c \ne 0.$$
Для уравнений
$$ax^2+bx+c=0,$$
$$cx^2+bx+a=0$$
дискриминанты равны:
$$D_1=b^2-4ac,$$
$$D_2=b^2-4ca=b^2-4ac.$$
Значит, уравнения имеют одинаковое число корней.
Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корни разных знаков, то
$$D=b^2-4ac>0,\qquad \frac{c}{a}<0.$$
Для уравнения
$$ax^2+2bx+4c=0$$
дискриминант равен
$$D_2=(2b)^2-4\cdot a\cdot 4c=4b^2-16ac=4(b^2-4ac)>0.$$
Следовательно, второе уравнение имеет два корня.
Если разность корней уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна 3, то корни различны, значит
$$D=b^2-4ac>0.$$
Для уравнения
$$a^3x^2+b^3x+c^3=0$$
дискриминант:
$$D_2=b^6-4a^3c^3=(b^2-4ac)(b^4+4ab^2c+16a^2c^2).$$
Так как $$b^2-4ac>0,$$ то $$D_2>0.$$ Значит, второе уравнение имеет два корня.
Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет единственный корень, то
$$D=b^2-4ac=0.$$
Для уравнения
$$4ax^2+2bx+c=0$$
дискриминант равен
$$D_2=(2b)^2-4\cdot 4a\cdot c=4b^2-16ac=4(b^2-4ac)=0.$$
Следовательно, второе уравнение имеет один корень.
Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет единственный корень, то
$$b^2-4ac=0.$$
Для уравнения
$$cx^2-(b+1)x+a=0$$
дискриминант:
$$D_2=(b+1)^2-4ac=b^2+2b+1-4ac=(b^2-4ac)+2b+1=2b+1.$$
Так как $$b<-0{,}5,$$ то $$2b+1<0.$$ Значит, корней нет.
Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ не имеет корней, то
$$b^2-4ac<0.$$
Для уравнения
$$ax^2+(2b+1)x+4c=0$$
дискриминант:
$$D_2=(2b+1)^2-16ac=4b^2+4b+1-16ac=4(b^2-4ac)+4b+1.$$
Так как $$b<-0{,}25,$$ то $$4b+1<0,$$ а значит, $$D_2<0.$$ Следовательно, корней нет.
Для противоположного события перечислим все элементарные события, не входящие в событие $$A.$$
$$\overline{A}=\{\text{числа }1,2,3\}.$$
$$\overline{A}=\{ОО,\;ОР,\;РО\}.$$
$$\overline{A}=\{ОО,\;РР\}.$$
$$\overline{A}=\{ООО\}.$$
$$\overline{A}=\{5;5,\;5;6,\;6;6\}.$$
$$\overline{A}=\{0;0,\;0;1,\;0;2,\;1;1,\;1;2,\;2;2\}.$$
Ответ
а) одинаковое число корней; б) два корня; в) два корня; г) один корень; д) корней нет; е) корней нет.
Для противоположных событий: 1) $$\{1,2,3\}$$; 2) $$\{ОО,ОР,РО\}$$; 3) $$\{ОО,РР\}$$; 4) $$\{ООО\}$$; 5) $$\{5;5,\,5;6,\,6;6\}$$; 6) $$\{0;0,\,0;1,\,0;2,\,1;1,\,1;2,\,2;2\}$$.
