Упр.6.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых значениях $$x>2$$ значение выражения является отрицательным числом.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}.$$

Сначала упростим скобки:

$$\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2 = \frac{(x+1)(x+3)+8x-4x(x+3)}{2x(x+3)} = \frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = -\frac{3(x^2-1)}{2x(x+3)}.$$

Тогда

$$-\frac{3(x^2-1)}{2x(x+3)}:\frac{x+1}{x+3} = -\frac{3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x+1} = -\frac{3(x-1)}{2x} = \frac{3(1-x)}{2x}.$$

Теперь вычтем вторую дробь:

$$\frac{3(1-x)}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x} = \frac{3-3x-x^2+5x-3}{2x} = \frac{-x^2+2x}{2x} = -\frac{x(x-2)}{2x} = -\frac{x-2}{2}.$$

При $$x>2$$ имеем $$x-2>0$$, значит

$$-\frac{x-2}{2}<0.$$
Следовательно, при любых $$x>2$$ значение выражения отрицательно.

Ответ

$$-\frac{x-2}{2}<0,\quad \text{при } x>2.$$