Упр.6.19 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

6.19. Найдите значение выражения.

Упростим выражение:

$$\frac{2-a}{5}+\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2:\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right).$$

Сначала преобразуем дроби в скобках:

$$\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a} = \frac{(2-a)(4a^2+2a+1)}{(1-2a)(1+2a+4a^2)\cdot a(2a+1)} = \frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)}.$$

$$\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)} = \frac{a+2}{a(2a-1)^2}-\frac{2-a}{a(2a-1)(2a+1)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a+2}{a(2a-1)^2}+\frac{2-a}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{(a+2)(2a+1)+(2-a)(2a-1)}{a(2a-1)^2(2a+1)}.$$

$$(a+2)(2a+1)+(2-a)(2a-1)=2a^2+5a+2+4a-2-2a^2+a=10a.$$

Значит,

$$\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a} = \frac{10}{(2a-1)^2(2a+1)}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2:\frac{10}{(2a-1)^2(2a+1)} = \frac{1}{(2a-1)^2}\cdot\frac{(2a-1)^2(2a+1)}{10} = \frac{2a+1}{10}.$$

Теперь прибавим первую дробь:

$$\frac{2-a}{5}+\frac{2a+1}{10} = \frac{2(2-a)+2a+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$

Значение выражения не зависит от значения переменной.

Ответ

$$\frac{1}{2}$$