Упр.6.18 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Преобразуем выражение в левой части:

$$\frac{18xy}{2y+3x}+\frac{1}{2y-3x}:\left(\frac{4}{4y^2-9x^2}-\frac{6y-9x}{8y^3+27x^3}\right)$$

Разложим знаменатели на множители:

$$4y^2-9x^2=(2y-3x)(2y+3x),$$
$$8y^3+27x^3=(2y+3x)(4y^2-6xy+9x^2).$$

Тогда

$$\frac{4}{4y^2-9x^2}-\frac{6y-9x}{8y^3+27x^3} = \frac{4}{(2y-3x)(2y+3x)}-\frac{3(2y-3x)}{(2y+3x)(4y^2-6xy+9x^2)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4(4y^2-6xy+9x^2)-3(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)(4y^2-6xy+9x^2)}.$$

Числитель:

$$4(4y^2-6xy+9x^2)-3(2y-3x)^2$$
$$=16y^2-24xy+36x^2-3(4y^2-12xy+9x^2)$$
$$=16y^2-24xy+36x^2-12y^2+36xy-27x^2$$
$$=4y^2+12xy+9x^2=(2y+3x)^2.$$

Значит,

$$\frac{4}{4y^2-9x^2}-\frac{6y-9x}{8y^3+27x^3} = \frac{(2y+3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)(4y^2-6xy+9x^2)} = \frac{2y+3x}{(2y-3x)(4y^2-6xy+9x^2)}.$$

Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:

$$\frac{1}{2y-3x}:\frac{2y+3x}{(2y-3x)(4y^2-6xy+9x^2)} = \frac{1}{2y-3x}\cdot\frac{(2y-3x)(4y^2-6xy+9x^2)}{2y+3x} = \frac{4y^2-6xy+9x^2}{2y+3x}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{18xy}{2y+3x}+\frac{4y^2-6xy+9x^2}{2y+3x} = \frac{18xy+4y^2-6xy+9x^2}{2y+3x} = \frac{4y^2+12xy+9x^2}{2y+3x}.$$

$$\frac{4y^2+12xy+9x^2}{2y+3x} = \frac{(2y+3x)^2}{2y+3x} = 2y+3x.$$

Правая часть равна

$$3x+2y=2y+3x,$$

следовательно, равенство верно.

Ответ

$$3x+2y=3x+2y$$