Упр.6.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Преобразуем левую часть выражения:

$$\left(\frac{z}{z-2}-\frac{z^2}{z^3+8}\cdot\frac{z^2+2z}{z-2}\right):\frac{8}{z^2-2z+4}+\frac{z^2+z-2}{2z+4}$$

Разложим на множители:

$$z^3+8=(z+2)(z^2-2z+4), \qquad z^2+2z=z(z+2), \qquad 2z+4=2(z+2)$$

Тогда

$$\frac{z^2}{z^3+8}\cdot\frac{z^2+2z}{z-2} = \frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)}\cdot\frac{z(z+2)}{z-2} = \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}$$

Следовательно,

$$\frac{z}{z-2}-\frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{z(z^2-2z+4)-z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z(z-2)}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}$$

Делим на дробь:

$$\frac{-2z}{z^2-2z+4}:\frac{8}{z^2-2z+4} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}\cdot\frac{z^2-2z+4}{8} = -\frac{z}{4}$$

Теперь прибавим вторую дробь:

$$-\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2z+4} = -\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2(z+2)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$-\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2(z+2)} = \frac{-z(z+2)+2(z^2+z-2)}{4(z+2)}$$

$$= \frac{-z^2-2z+2z^2+2z-4}{4(z+2)} = \frac{z^2-4}{4(z+2)} = \frac{(z-2)(z+2)}{4(z+2)} = \frac{z-2}{4}$$

Получили правую часть, значит, тождество верно.

Ответ

$$\frac{z-2}{4}$$