Упр.6.16 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}\right):\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$27-3y^2=3(9-y^2)=3(3-y)(3+y), \quad 3y+9=3(y+3), \quad y^2-3y=y(y-3),$$
$$3y^2-y^3=y^2(3-y).$$

Тогда

$$\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y} = \frac{y^2+9}{3(3-y)(3+y)}+\frac{y}{3(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{y^2+9}{3(3-y)(3+y)}+\frac{y}{3(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)} = -\frac{y+3}{y(y-3)}.$$

Теперь делим на дробь:

$$-\frac{y+3}{y(y-3)}:\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3} = -\frac{y+3}{y(y-3)}\cdot\frac{3y^2-y^3}{(3y+9)^2}.$$

Подставим разложения:

$$3y^2-y^3=y^2(3-y), \quad (3y+9)^2=9(y+3)^2.$$

Тогда

$$-\frac{y+3}{y(y-3)}\cdot\frac{y^2(3-y)}{9(y+3)^2} = \frac{y}{9(y+3)}.$$

Правая часть равна

$$\frac{y}{9y+27}=\frac{y}{9(y+3)}.$$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

$$\frac{y}{9y+27}$$