Упр.6.10 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а)
   $$\left(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}\right):\frac{a^2+5a}{1-5a}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1.$$

   Приведём первую скобку к общему знаменателю:
   $$\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(5a-1)(a+1)}.$$
   Тогда
   $$\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(5a-1)(a+1)}:\frac{a(a+5)}{1-5a}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1.$$

   Упростим числитель:
   $$(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)=a^2+6a+5+5a^2+24a-5=6a^2+30a=6a(a+5).$$
   Тогда
   $$\frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)}\cdot\frac{1-5a}{a(a+5)}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1.$$

   Сокращаем:
   $$-\frac{6}{a+1}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1.$$
   Получаем
   $$\frac{a^2-1}{a+1}=a-1,$$
   $$\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=a-1.$$
   Следовательно,
   $$a-1=a-1,$$
   тождество верно.

2. б)
   $$\left(\frac{b-3}{7b-4}-\frac{b-3}{b-4}\right)\cdot\frac{7b-4}{9b-3b^2}+\frac{b^2-14}{4-b}=-b-4.$$

   Приведём первую скобку к общему знаменателю:
   $$\frac{(b-3)(b-4)-(b-3)(7b-4)}{(7b-4)(b-4)}.$$
   Тогда
   $$\frac{(b-3)(b-4)-(b-3)(7b-4)}{(7b-4)(b-4)}\cdot\frac{7b-4}{9b-3b^2}+\frac{b^2-14}{4-b}=-b-4.$$

   Упростим числитель:
   $$(b-3)(b-4)-(b-3)(7b-4)=(b-3)\bigl((b-4)-(7b-4)\bigr)=-6b(b-3).$$
   А также
   $$9b-3b^2=3b(3-b), \qquad 4-b=-(b-4).$$
   Тогда
   $$\frac{-6b(b-3)}{(7b-4)(b-4)}\cdot\frac{7b-4}{3b(3-b)}+\frac{b^2-14}{4-b}=-b-4.$$

   Сокращаем:
   $$\frac{2}{b-4}-\frac{b^2-14}{b-4}=-b-4.$$
   Получаем
   $$\frac{16-b^2}{b-4}=-b-4,$$
   $$\frac{-(b-4)(b+4)}{b-4}=-b-4.$$
   Следовательно,
   $$-b-4=-b-4,$$
   тождество верно.

Ответ

а) тождество верно; б) тождество верно.