Упр.58 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{1}{x}$$. При каком значении $$x$$ выполняется равенство $$f(x^2-1)=f(3x^2-3x)$$?

   б) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{2}{x+1}$$. При каком значении $$x$$ выполняется равенство $$f(x^2-2x)=f(x-2)$$?

1. а) $$f(x)=\frac{1}{x}$$

   Тогда

   $$f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}, \qquad f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x}.$$

   Составим уравнение:

   $$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{3x^2-3x}.$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{3x(x-1)}.$$

   ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq -1,\; x\neq 0.$$

   Перемножим крест-накрест:

   $$3x(x-1)=(x-1)(x+1).$$

   Так как $$x\neq 1,$$ сокращаем на $$x-1$$:

   $$3x=x+1.$$

   $$2x=1,$$

   $$x=\frac{1}{2}.$$

2. б) $$f(x)=\frac{2}{x+1}$$

   Тогда

   $$f(x^2-2x)=\frac{2}{x^2-2x+1}, \qquad f(x-2)=\frac{2}{x-1}.$$

   Составим уравнение:

   $$\frac{2}{x^2-2x+1}=\frac{2}{x-1}.$$

   Заметим, что $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ поэтому

   $$\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}.$$

   ОДЗ: $$x\neq 1.$$

   Умножим обе части на $$\frac{(x-1)^2}{2}:$$

   $$1=x-1.$$

   $$x=2.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{2}$$; б) $$x=2$$.