Упр.5.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 8 класс, Просвещение: Докажите, что на графике функции у = v2 · x + v2 имеется только одна точка, у которой абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}.$$

Проверим точку с целыми координатами, которая лежит на графике. При $$x=-1$$ получаем

$$y=\sqrt{2}\cdot(-1)+\sqrt{2}=0,$$

значит, точка $$(-1;0)$$ принадлежит графику.

Докажем, что других точек с целыми координатами нет. Пусть на графике есть ещё одна такая точка $$\left(a;b\right)$$, где $$a$$ и $$b$$ — целые числа. Тогда

$$b=\sqrt{2}\,a+\sqrt{2}=\sqrt{2}(a+1).$$

Отсюда

$$\sqrt{2}=\frac{b}{a+1}.$$

Правая часть — рациональное число, так как $$a$$ и $$b$$ — целые. Но $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число. Получаем противоречие.

Следовательно, на графике функции есть только одна точка с целыми координатами: $$(-1;0)$$.

Для построения графика достаточно отметить, например, точки $$(-1;0)$$ и $$\left(0;\sqrt{2}\right)$$ и провести через них прямую.

Ответ

Единственная точка графика с целыми координатами — $$(-1;0)$$. График — прямая $$y=\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}$$, проходящая через точки $$(-1;0)$$ и $$\left(0;\sqrt{2}\right)$$.