Дополнительная задача 5 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) a/(a + 1/a);
б) b/(b — 1/b);
в) c/(1 + 1/(c — 1));
г) (d — 1)/(d + 2d/(d — 2));
д) x + (x — 1)/(x^2 — 1);
е) vy/(4 — y^2).

Допустимые значения переменной — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю, а также подкоренное выражение неотрицательно, если есть корень.

1. $$\frac{a}{a+\frac{1}{a}}$$

   Требуем:

   $$a \ne 0,$$
   $$a+\frac{1}{a}\ne 0.$$

   Умножим второе неравенство на $$a$$:

   $$a^2+1\ne 0.$$

   Для действительных чисел это верно всегда, значит остаётся:

   $$a\ne 0.$$

2. $$\frac{b}{b-\frac{1}{b}}$$

   Требуем:

   $$b \ne 0,$$
   $$b-\frac{1}{b}\ne 0.$$

   Умножим второе неравенство на $$b$$:

   $$b^2-1\ne 0,$$
   $$b\ne \pm 1.$$

   Итак,

   $$b\ne 0,\quad b\ne 1,\quad b\ne -1.$$

3. $$\frac{c}{1+\frac{1}{c-1}}$$

   Требуем:

   $$c-1\ne 0,$$
   $$1+\frac{1}{c-1}\ne 0.$$

   Умножим второе неравенство на $$c-1$$:

   $$(c-1)+1\ne 0,$$
   $$c\ne 0.$$

   Значит,

   $$c\ne 1,\quad c\ne 0.$$

4. $$\frac{d-1}{d+\frac{2d}{d-2}}$$

   Требуем:

   $$d-2\ne 0,$$
   $$d+\frac{2d}{d-2}\ne 0.$$

   Умножим второе неравенство на $$d-2$$:

   $$d(d-2)+2d\ne 0,$$
   $$d^2\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$d\ne 2,\quad d\ne 0.$$

5. $$x+\frac{x-1}{x^2-1}$$

   Требуем:

   $$x^2-1\ne 0,$$
   $$(x-1)(x+1)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne 1,\quad x\ne -1.$$

6. $$\frac{\sqrt{y}}{4-y^2}$$

   Требуем:

   $$y\ge 0,$$
   $$4-y^2\ne 0.$$

   Из второго условия:

   $$y^2\ne 4,$$
   $$y\ne 2,\quad y\ne -2.$$

   С учётом $$y\ge 0$$ получаем:

   $$y\ge 0,\quad y\ne 2.$$

Ответ

а) $$a\ne 0$$;
б) $$b\ne -1,\;0,\;1$$;
в) $$c\ne 0,\;1$$;
г) $$d\ne 0,\;2$$;
д) $$x\ne -1,\;1$$;
е) $$y\ge 0,\; y\ne 2$$.