Дополнительная задача 5 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Представьте обыкновенные дроби $$\frac{1}{7}$$, $$\frac{2}{7}$$, $$\frac{3}{7}$$, $$\frac{4}{7}$$, $$\frac{5}{7}$$, $$\frac{6}{7}$$ в виде десятичных периодических дробей и исследуйте их периоды.

Представим дроби в виде десятичных периодических дробей:

$$\frac{1}{7}=0,(142857),\quad \frac{2}{7}=0,(285714),\quad \frac{3}{7}=0,(428571),$$
$$\frac{4}{7}=0,(571428),\quad \frac{5}{7}=0,(714285),\quad \frac{6}{7}=0,(857142).$$

Во всех случаях период состоит из 6 цифр. При умножении дроби на число от 2 до 6 периодические цифры просто циклически сдвигаются.

Заметим, что все полученные периоды — это перестановки одних и тех же цифр:

$$142857,\ 285714,\ 428571,\ 571428,\ 714285,\ 857142.$$

Следовательно, у всех дробей с знаменателем 7 период одинаковой длины, а сами периоды отличаются только циклическим сдвигом.

Ответ

$$\frac{1}{7}=0,(142857),\ \frac{2}{7}=0,(285714),\ \frac{3}{7}=0,(428571),\ \frac{4}{7}=0,(571428),\ \frac{5}{7}=0,(714285),\ \frac{6}{7}=0,(857142).$$
Период у всех дробей состоит из 6 цифр и является циклическим сдвигом числа 142857.