Дополнительная задача 5 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 8 класс, Просвещение: Представьте обыкновенные дроби 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 6/7 в виде десятичных периодических дробей и исследуйте их периоды.

Представим дроби в виде десятичных периодических дробей:

$$ \frac{1}{7}=0,(142857),\quad \frac{2}{7}=0,(285714),\quad \frac{3}{7}=0,(428571), $$
$$ \frac{4}{7}=0,(571428),\quad \frac{5}{7}=0,(714285),\quad \frac{6}{7}=0,(857142). $$

Во всех случаях период состоит из 6 цифр. При умножении дроби на число от 2 до 6 периодические цифры просто циклически сдвигаются.

Заметим, что все полученные периоды — это перестановки одних и тех же цифр:

$$ 142857,\ 285714,\ 428571,\ 571428,\ 714285,\ 857142. $$

Следовательно, у всех дробей с знаменателем 7 период одинаковой длины, а сами периоды отличаются только циклическим сдвигом.

Ответ

$$ \frac{1}{7}=0,(142857),\ \frac{2}{7}=0,(285714),\ \frac{3}{7}=0,(428571),\ \frac{4}{7}=0,(571428),\ \frac{5}{7}=0,(714285),\ \frac{6}{7}=0,(857142). $$
Период у всех дробей состоит из 6 цифр и является циклическим сдвигом числа 142857.