Упр.5.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) число 5 + v3 является иррациональным;
б) сумма чисел 3 + v2 и 3 — v2 число иррациональное;
в) произведение чисел v7 + v13 и v7- v17 — число иррациональное;
г) число 1 — v11 является иррациональным;
д) сумма чисел 5 + v6 и 7 — v6 — число иррациональное;
е) произведение чисел v11 + v21 и v21 — v11 — число иррациональное.

Подробный ответ

Пусть $$r=5+\sqrt{3}.$$ Предположим, что $$r$$ — рациональное число. Тогда
$$\sqrt{3}=r-5.$$
Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, она рациональна. Получаем, что $$\sqrt{3}$$ рационально, что невозможно. Следовательно, $$5+\sqrt{3}$$ — иррациональное число.
$$\left(3+\sqrt{2}\right)+\left(3-\sqrt{2}\right)=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6.$$
Это рациональное число.
$$\left(\sqrt{7}+\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{17}\right)=7-\sqrt{119}+\sqrt{91}-\sqrt{221}.$$
Так как в выражении остаются иррациональные слагаемые, полученное число иррационально.
Пусть $$r=1-\sqrt{11}.$$ Предположим, что $$r$$ — рациональное число. Тогда
$$\sqrt{11}=1-r.$$
Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, она рациональна. Получаем, что $$\sqrt{11}$$ рационально, что невозможно. Следовательно, $$1-\sqrt{11}$$ — иррациональное число.
$$\left(5+\sqrt{6}\right)+\left(7-\sqrt{6}\right)=5+\sqrt{6}+7-\sqrt{6}=12.$$
Это рациональное число.
$$\left(\sqrt{11}+\sqrt{21}\right)\left(\sqrt{21}-\sqrt{11}\right)=\left(\sqrt{21}\right)^2-\left(\sqrt{11}\right)^2=21-11=10.$$
Это рациональное число.