Упр.5.46 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 5.46 Докажите, что при всех допустимых значениях перемен ных выражение принимает одно и то же значение:

а) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{2x^2y^3}{x+y}\right)^3 : \left(\frac{x^6y^9}{x^2-y^2}\cdot \frac{8x-8y}{x^2+2xy+y^2}\right) $$

$$ \left(\frac{2x^2y^3}{x+y}\right)^3=\frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} $$

Разложим многочлены на множители:
$$ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \qquad x^2+2xy+y^2=(x+y)^2, \qquad 8x-8y=8(x-y). $$
Тогда
$$ \frac{x^6y^9}{x^2-y^2}\cdot \frac{8x-8y}{x^2+2xy+y^2} = \frac{x^6y^9}{(x-y)(x+y)}\cdot \frac{8(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}. $$

Следовательно,
$$ \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} : \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}=1. $$

б) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{a-3}{3a^2b}\right)^2 : \left(\frac{9-a^2}{18a^3b} : \frac{a^2b+3ab}{2a-6}\right) $$

Разложим на множители:
$$ 9-a^2=(3-a)(3+a)=-(a-3)(a+3), $$
$$ a^2b+3ab=ab(a+3), \qquad 2a-6=2(a-3). $$
Тогда
$$ \frac{9-a^2}{18a^3b} : \frac{a^2b+3ab}{2a-6} = \frac{-(a-3)(a+3)}{18a^3b} : \frac{ab(a+3)}{2(a-3)}. $$
Выполним деление:
$$ \frac{-(a-3)(a+3)}{18a^3b}\cdot \frac{2(a-3)}{ab(a+3)} = -\frac{(a-3)^2}{9a^4b^2}. $$
Тогда всё выражение равно
$$ \frac{(a-3)^2}{9a^4b^2} : \left(-\frac{(a-3)^2}{9a^4b^2}\right)=-1. $$

Ответ

а) $$1$$;
б) $$-1$$.