Упр.5.44 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) Преобразуем каждую дробь, разложив многочлены на множители:

$$a^4-64b^3a=a(a^3-64b^3)=a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2),$$
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
$$a^2b-16b^3=b(a^2-16b^2)=b(a-4b)(a+4b),$$
$$a^3+4a^2b+16ab^2=a(a^2+4ab+16b^2).$$

Тогда левая часть равна

$$\frac{a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-4b)(a+4b)}: \frac{a(a^2+4ab+16b^2)}{b(a+4b)}.$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$\frac{a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-4b)(a+4b)}\cdot \frac{b(a+4b)}{a(a^2+4ab+16b^2)}.$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$\frac{a+b}{a-b}.$$

б) Аналогично разложим на множители:

$$x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25),$$
$$x^2-16z^2=(x-4z)(x+4z),$$
$$x^2-8xz+16z^2=(x-4z)^2,$$
$$x^2-5x+25 \text{ — без изменения}.$$

Тогда левая часть:

$$\frac{z(x+5)(x^2-5x+25)}{(x-4z)(x+4z)}\cdot \frac{(x-4z)^2}{x(x^2-25)}\cdot \frac{x+4z}{x^2-5x+25}:\frac{x-4z}{x-5}.$$

Заменим деление умножением:

$$\frac{z(x+5)(x^2-5x+25)}{(x-4z)(x+4z)}\cdot \frac{(x-4z)^2}{x(x^2-25)}\cdot \frac{x+4z}{x^2-5x+25}\cdot \frac{x-5}{x-4z}.$$

Так как $$x^2-25=(x-5)(x+5),$$ после сокращения получаем:

$$\frac{z}{x}.$$

Ответ

а) $$\frac{a+b}{a-b}$$;
б) $$\frac{z}{x}$$.