Упр.5.44 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 5.44. Докажите тождество:

а) Преобразуем каждую дробь, разложив многочлены на множители:

$$ a^4-64b^3a=a(a^3-64b^3)=a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2), $$
$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2, $$
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b), $$
$$ a^2b-16b^3=b(a^2-16b^2)=b(a-4b)(a+4b), $$
$$ a^3+4a^2b+16ab^2=a(a^2+4ab+16b^2). $$

Тогда левая часть равна

$$ \frac{a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-4b)(a+4b)}: \frac{a(a^2+4ab+16b^2)}{b(a+4b)}. $$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{a(a-4b)(a^2+4ab+16b^2)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-4b)(a+4b)}\cdot \frac{b(a+4b)}{a(a^2+4ab+16b^2)}. $$

Сокращаем одинаковые множители:

$$ \frac{a+b}{a-b}. $$

б) Аналогично разложим на множители:

$$ x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25), $$
$$ x^2-16z^2=(x-4z)(x+4z), $$
$$ x^2-8xz+16z^2=(x-4z)^2, $$
$$ x^2-5x+25 \text{ — без изменения}. $$

Тогда левая часть:

$$ \frac{z(x+5)(x^2-5x+25)}{(x-4z)(x+4z)}\cdot \frac{(x-4z)^2}{x(x^2-25)}\cdot \frac{x+4z}{x^2-5x+25}:\frac{x-4z}{x-5}. $$

Заменим деление умножением:

$$ \frac{z(x+5)(x^2-5x+25)}{(x-4z)(x+4z)}\cdot \frac{(x-4z)^2}{x(x^2-25)}\cdot \frac{x+4z}{x^2-5x+25}\cdot \frac{x-5}{x-4z}. $$

Так как $$x^2-25=(x-5)(x+5),$$ после сокращения получаем:

$$ \frac{z}{x}. $$

Ответ

а) $$\frac{a+b}{a-b}$$;
б) $$\frac{z}{x}$$.